Deiiflcr, arithmclische L'ntersuihnngeii. 3Ö7 



Durch die bpiden Gleichuncen 16) und 58) wirci nun die Glei- 

 chung 40) und durch \~ und 55) die Gleiohuna; M) bewiesen, 

 und es bleibt sonn'l nur noth die 12; zu beweisen übrig. Zu 

 diesem Zwecke erwiige mau zunächsl, dass vermöge der Glei- 

 chung 10) 



lim. "t!^^- = lf(I,0) 59) 



CO 



Setzen \>ir nun zur Grenzbeslimmunii von '- — den Quo- 



tienlen - für w, wo q eine positive oder negative unendlich gross 



>^ erdende ganze Zahl vorstellt, und mullipliciren wir Dividend 

 und Divisor mit der positiven ganzen Zahl p, so haben wir vor- 

 erst die Gleichung 



P^(0,-) 

 hm. = um. r 



Nun findet man durch successive .Addition von p Summan- 

 den, wo jeder = t/^^O, ), bei jeder .Vddition die Gleichung 25) 

 anwendend , die Gleichung 



pt/;^0,i)-|-2X.T=V;:0,-^) 



wo Ä eine noch unbestimmte reelle, jedenfalls aber nicht 

 gebrochene Zahl bezeichnet; und wir haben daher auch die 

 Gleichung 



\fj(ß,co) 

 hra. ■ = hm. 



^ 



Lassen wir jetzt p und q zugleich ins Unendliche wachsen, 

 und zwar so . dass der Quotient - immer bei irgend einem be- 

 stimmten von verschiedenen reellen Werthe k, verharrt, so 

 finden wir aus dieser letzlern Gleichung mit Beachtung der Glei- 

 chung 59) 



ir,< n^ ^(0,k,)-lim.2X.T , 



lf(l,0)— — oder 



k, 



k,lf(l,0) -h lim.2A.T = i/;(0,k,) 



