Dciizler , arithmetische Liitersiichungeii 359 



oder nach dein bekniuilen Leiirsalz über die \'er\\andluni; einer 

 Coniplexen in eine Potenz 



y(k+k,i) = ^^e''"'^*''^)"'*''^^'''^) "^ iLli|/^(l,0)+k,lf(l,OV, g,j^ 



Da nun der E\j)üiion( dieser Potenz gleich (k-l-k,i(lf(l,0) + 

 -|- i t/;(l,0)j, so iiat man ofl'enbar auch die Gleichung 



<,,(k+k,i)=„e('^+'''')-''f(*'«^ + ''^(''«)J 



Nun ist ferner nach dem Lehrsatz über die Ver\\andlung >ou 

 dem Logarithmus einer Complexen in eine Complexe 



11(1,0) 4- i t/;(l,0) = >g.[f(l,0) . [cosip(l,0) + i sini/;(l,0)]] 



und man hat daher auch die Gleichung: 



9)(k+k,i) = ^e^'''^'''''"'""^'''*'*^^ ' f<^os'/'(1.«) -H ' sint/'Cl.O)]] 



Endlich ist der zweite Tlieil dieser Gleichung nur nach 

 der Erklärung einer Potenz mit coniplexen Exponenten = 

 üj(i,0)[cost/;(l,0) + i sin 1/^(1,0)^]'' rk.i y,^(j j^j y^^j^ jgj. j^ j^ ^^_ 

 geführten Bezeichnung 



f(l,0} = mod.<^(l) = mod.(l + a + bi) 

 t/^(l,0) = arg. cp{i) = arg. (1 + a 4- bi) 

 so ist die Richtigkeit der folgenden Gleichung für den Fall , da 

 a < 1 , ausser Zweifel : 



r/-(k+k,i)=l -r (•'Y'')^^+^'^ -^ 



-r (H/'*j(a+bi)2 + = „(l+a+bi)"*"'' 65) 



VIIL 



Die Gleichung 65) findet ferner in folgenden 2 Fällen statt: 

 1) Wenn cp- < .i^, « = 1, (1 -f- k) positiv ist, und man hat 

 dann insbesondere : 



„(1 + cos cp + i sin cpf '^''^ = 

 = 1 + ('^"^i'^'') (cos (^ + i sin cp) -H ('^■^'^'M(cos2(p + isin2(/)) 



l(-2 + 2 cos 9) — -^ qp + i [-' !(•> + 2 cos qp) + | (p] 



66) 



