3H0 lienzler, arithmetische Untersuchungen 



2) Wenn (p — -t, a=l, k positiv isl, und man hat alsdann 

 die Gleichung,': 



0=l-('^ + '^'') + (»^+/'')_('^ + '^'') 4- 67) 



Beweis zu 1). Setzen wir in der Gleichung 2) 

 p^ = dem reellen Theil der der Reihe rplk + k,i) gleichen 



Coniplexen, 

 iq^^ = dem imasinären Theil der der Ueihe </)(k+k,i) gleichen 



Complexen. 

 Pj^= dem reellen Theil der der Potenz oLl+«(cos (/)-+- isinr^)jk+k,i 



gleichen Complexen, 

 iQ^^ = dem imag. Theil der der Potenz „[1 + a(cosrp + i sin(p)]''+k,i 



gleichen Complexen, 

 so hat man zum Zwecke des Beweises der Gleichung 66) nur 

 darzulhun, dass unter den A'orausselzungen , unter welchen 

 diese Gleichung behauptet w ird . 



p, = P, und q, = Q, 

 Das Stattfinden dieser 2 Gleichungen ergibt sich leicht aus fol- 

 genden Betrachtungen : Vorerst findet man, einerseits durch Ver- 

 wandlung der Potenz o[l + o(cos fp + i sin </))]k4k,i in eine Com- 

 plexe und anderseits aus der Gleichung 2), dass, wenn i posi- 

 tiv und < 1 , 



1, (1 -f)sin CD 



P,.,^.e''"^-^-'°'^"'-'' + '''-'''"°"°^' .+(.-.)ca% ^ 



cos[karc.lg. , ;' -_j;y^^^ +1^1 Ü2 + 2 c.»p)(l -.) + .»]] 68) 



p,_^ = l +(l-£)X,COS0, + (l-c')2>.2COS02+ ii-£)^hC0S&i-\-.... 69) 

 k ff) 



Pi = oe' ' cos(^ + -|-'l(2 4-2cos<^)) 70) 



pi = H-X,cos6>,4-^2Cos02-l-AjCos0j-|- 71) 



Nehmen wir nun , entgegen der zu begründenden Behaup- 

 tung, an, es finde zwischen P, und p, ein angebbarer Unter- 

 schied statt = D , so könnte bei dem Umstände, dass der ab- 

 solute Werlh von cp unter .t vorausgesetzt wird, und nach dem 

 bereits Bewiesenen die Reihen p, und p,_^, wenn auch e un- 



