Oenzler, arilhmelische Untersuchungen. 361 



endlich klein wäre, convergiren , aus deu Gleichungen 68) bis 

 71) auf das Vorhandensein eines solchen angebbaren Werlhes 

 e, von i geschlossen werden, für welchen der absolute Werth 

 [Pj — Pj-f] und zugleich derjenige von LP^-Pi-f] unter dem von 



- D läge. Wenn nun 



Pi = Pi.f^ + wi und Pi = Pi-f, -I-W2 



SO müsste offenbar in Folge dieser 2 Gleichungen und da für 

 ein angebbares c, die Grösse P|_- =p|_, , die Gleichung be- 

 stehen 



P, — p, := CO, — W2 



wo nun jedenfalls w, — W2 dem absoluten Werthe nach unter D 

 sein müsste. Hieraus folgt , dass P, — p, unter jeder angebba- 

 ren Kleinheit liegt, mithin = ist. Genau auf gleiche Weise 

 lässt sich die Identität des q, mit Q, beweisen. 



Beweis zu 2). Voraussetzend , dass a = 1 und k posi- 

 tiv , bezeichnen wir mit 

 Pm den reellen Bestandtheil der Reihe für cpik + k,i) in der 



Gleichung 2) , 

 iqm den imaginären Bestandtheil der Reihe für cp{\a ■+■ k,i) in der 



Gleichung 2), 

 Pq, den reellen Bestandtheil in der der Potenz 



o^l-rcos(^ 4-i singi k + ki gleichen Complexen, 

 iOm den imaginären Bestandtheil in der der Potenz 



0^1 -t- cosfp -t-i sin gj k- k i «jleichen Complexen. 

 Nun führen die Verwandlung der Potenz „(1 + cosfp-f- isin g))k + ki 

 in eine Complexe, und die Substitution von A,„ -i- vc\cp für 0,,, 

 in den zweiten Theil der Gleichung 2) zu folgenden Gleichungen: 



P^_=oe'' - ^os(^(.7-^) + !^l(2-2cosc'))72) 



Pjj_^=l-''^lC0SfAi-f)+A2C0s(A2 -2£)-X3COS(A3— 3£)-f ... 73) 



P,-„e'""^''"cos(.^k. -}-ik,10) 74) 



p^ — 1 - Aicos.Ai -f-A2CosA2 - X3COSA3 + • • • • 75) 



wo £ einen positiven unter 71 liegenden Bogen bezeichnet. 



