Denzler, arilhmeliscbe Untersuchungen. 363 



rx. 



Wenn k = k, = 0, a = 1 , cp = n , so is( die im Lehrsatze 

 behauptete Gleichung unbrauchbar. In diesem Falle ist nämlich 

 die Reihe cp[V. -\- k,i) == 1 , dagegen die Potenz „(1 + cosy -\- i 



k-f k i 



s\ncp) ganz unbestimmt, was sich auf folgende "Weise zeigen 



lässt : Da diese Potenz unter den er\N äiinten Voraussetzungen 

 die unbestimmte Form „0" annimmt , so werden wir genöthigt 

 den Nachbarwerlh in ßetrachl zu ziehen. Setzen uir zu diesem 

 Zwecke cf = .t— £, so finden wir die frasiiche Potenz nach dem 

 Satze über die Verwandlung einer Potenz in eine Complexe 



k,, ^ . sine 



-1(2 - 2cosi) — k, aic. lang. -i- 



2 ^ ' ' " 1 - cos £ 



= «e 



+ irJ^I(2-2cose) + karc.tang. ^'"' 1 76) 



[_ 2 1 - cos sl 



In \l.) haben wir gesehen , dass, wenigstens so lange «^ unter 



/ -T \ 2 1 , 



l-T-l , cos£ = 1 — hs' und siuc = e — -h,£\ wo b und b, posi- 

 tive echte Brüche bezeichnen. Diess beachtend findet man für 

 ein unendlich klein werdendes positives £ 



,. , sins 71 



lim. arc. lang. - 



l^cosf 2 

 Ferner ist 



kI(2-2cosf) = kr2— 2(1- b£2)j = klb ■+- 2kU 



Lassen wir nun in kl£ die Grössen k und £ unendlich abnehmen, 

 so finden wir, dass hiebei kl« sich keiner bestimmten Grenze 

 allmälig nähert. Setzen wir z. B. k = nf, wo n irgend eine 

 endliche reelle Zahl bedeutet, so wird die Grenze von klf = 

 sein, da 



-U —U 



eh ==- 



.e-" ,+,_„) +(rl£E + Jri;4 + 



1-2 '1.2-3 



1 



-ld + ^^I.2 + rT2Tl + -- 



