Denzler, arithmetische Untersuchungen. 365 



oe''"^^'®^"''''''^''^'[cos[k,If(I,0)-|-Ml,0)]]+isin:k,If(l,0+Ml,0)]], 

 v\o f(l,0) =o'^(H-a;2-hl)2 



1/^(1, 0) = l) ;i — l-i-a:J- 4- arc. Ig.— — = bare, cos - 



•l ' 1+a -^ of(l^a}2+h2 



den Betrag der Reihe «^(k + k,i) oder 



1 + ^\^'') (a + bi)+('^+'^'')(a + bi)2+ 



ausdrückt, und zwar in sänunllichen Fällen ihrer Convergeuz, 

 den einzigen Fall ausgenommen, da k = k, = b = und zu- 

 gleich a =: — • 1 ist. 



Diess Resultat sliniml mit dem, welches Abel in Crelle's 

 Journal 1'" Band, pag. 333, iu I.) der Uebersichl gibt, nur in 

 dem Fall nicht überein, da 1 + a negativ und k eine positive 

 ungerade Zahl ist. In diesem Falle sind dann auch die Glei- 

 chungen auf der Mitte der pag. 326 der erwähnten Abhandlung 

 unrichtig, wovon man sich schon ilurch folgendes einfache Bei- 

 spiel überzeugt. Nach Abel hätte man für k = 1 , k, = 0, die 

 Gleichung : 



H-a-i-bi=7l-ha)24-b2j2J cos(arc.tg.-^)-|-i sin/arc.tg.- ) \ 



welche Gleichung, da nach Abel arc. tg. ;r-; — eine zwischen - 

 "' 1 -f- a j 2 



und— - enthaltene Grösse und [(H- a)2 -h b2j2 als Modulus 



positiv sein soll, in dem Falle, da I + a negativ wird, offenbar 

 unrichtig ist. 



Erster Zusatz. 



Wenn 1 -f k positiv, mithin nicht 0, so hat man nach VIII) 



die Gleichung : 



^2k + k,i^,_^^k + k,ij^^k+k,i^^, . .=„e''VsM2+isink,12) 



Ferner ist , wenn k positiv , mithin nicht , vermöge dieser 

 letztern Gleichung und der Gleichung 67): 



y + k,i^2[l -f('^ + »^'i) + ('^ + '^'i)-f- ] 



_^2Mk,r^2[('^ + '^'') + ('^ + '^'')-f ('^ + '^''')+. . ] 



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