36t) Denzler, arithmetische Uutersuchungen. 



Zweiter Zusatz. 

 Es ist 



\ i(i, 0) + i xfj{i, 0) = [a cos cp -^a^ cos 2q) -\-\a^ cos 3cp— ••]-!- 



^ "* 78) 



i[asia9) — ^a^s\n2cp + ^a}sin3(p — • • •] 



und zwar nur in folgenden Fällen: 



1) wenn a •<^ 1, 



2) wenn a = l und cp- < n'^. 



Beweis. 



Wir haben schon in VI) nachsewieseu , dass wenn a < 1 fol- 

 gende 2 Gleichungen staltiinden: 



lf(l,0) = acosrp -|a2cos2(/)-h|ct3cos3v— • • • • 79) 



rtj{i,0) = as'mcp — ^a^sm2cp + ^a^sin3g>—- • • • 80) 



In dem Falle , da a < 1 , besieht mithin olTenbar die Glei- 

 chung 78). 



Ist aber a = 1 und cp- < n"^, so kann die Richtigkeit der 

 Gleichungen 79) und 80) und mithin auch der Gleichung 78) auf 

 folgende Weise ins Klare gesetzt werden. Setzen wir cp[:i-x) 

 für cp, wo X in Folge der Voraussetzung einen jedenfalls von 

 verschiedenen unter rr liegenden posiliven Bogen bezeichnet, 

 in die Reihe 



cos ^ — i cos 2^) + i cos 3(p — • • • • 

 die wir der Kürze wegen = C setzen wollen , und multipliciren 

 sie mit 2sin|x, so erhalten wir die Gleichung 



— 2Csiu Jx = 2cosxsin|x 4-| • 2cos2x sin|x 4- 



-i- 1 • 2cos3xsin|x -t- • • • • 



= (sin |x - sin|x) -f \ (sin|x— sin|x) -I- 



-I- I (sin I X — sin I X) -H • • • • 

 = — sin I X -h (1 -i) sin |x 4- (| — J) sinfx -f- 



+ (|-i)sin|x+ . . • 



