Denzler, arithmetische Uutersuchungen. 367 



Da nun die Keilie (i — 1) + (i_l) + (1 — 1) -h mit 



tlurchgehends positiven Gliedern couvergirl, so wird natürlich 

 auch die Reihe , die wir für — 2C sin | x Tanden , und mithin 

 auch, da sin|x nicht ist, C selbst convergent sein. 

 Setzen wir ferner cp[x — x) für q> in diq. Reihe 



sin cp — I sin 2(p 4- ' sin 3«^ — 



die wir mit S bezeichnen , und mullipliciren auch diese mit 

 2sin|x, so ergibt sich : 



2S sin I x = (y, [2 sin X sin I x + 1 2 sin 2x sin | x + 



+ |2sin3xsin|x+ • • • • ] 

 = cp [cos I X — cos I x + I (cos I X — cos I x) + 



+ 1 {cos|\-cosIx)-h . . . .] 

 = ^cos|x— ^ [(1 —1) cos|x+(i — |)cos |x-f- 



H-:i-J)C0sIx)+. . . .] 



Wir sehen hieraus , dass die Convergenz von S , wie diejenige 

 von C bewiesen werden kann. 



Da nun die in 79) und 80) erscheinenden Reilien , so lange 

 cp- < .t2 und a die Einheit nicht übersteigt, ihre Convergenz 

 immer beibehalten und überdiess die Stetigkeit der einzelnen 

 GUeder dieser Reihe , indem a von aus allmälig in die Ein- 

 heit übergehl , nicht bezweifelt w erden kann ; da ferner bei dem- 

 selben Uebergang lf(l,Oj oder |l(l -|- a^ + 2a cos rp), so wie 



1 /. „. > • 1 -f- a cos cp . 



aucha/;(l,0) oder sm y arc. cos — — , wenn eben 



- — qY i-{- a^ + 2a cos cp 



cp- < .72^ ihre Stetigkeit nie Acriieren; und da endlich die Glei- 

 chungen 7J)) und 80) für jeden Werth von a, der unter 1 liegt, 

 Restand haben, so ist klar, dass sich die Richtigkeit dieser 

 Gleichuneen für den Fall , da a = 1 , ebenso bew eisen lässt , wie 

 diejenige der Gleichung P, = p, in VIII) bewiesen wurde. 



Ist nun ferner a =r 1 und cp = :i , so divergirt ofl'eubar 79) 

 und somit auch 78). 



Ist endlich a > 1 , so wird für ein unendlich gross werden- 

 des n entweder das n'' Glied in 79) oder dann das n'* Glied in 

 80) nicht zur Grenze haben, und daher offenbar die Reihe in 

 78) divergent sein. 



