368 Denzler, arilhmeliscbe Untersuchungen. 



Anmerkungen, belrelTend den Ahel'schen Beweis. 



1) Die grössle Schwierigkeit, die sich beim Beweise des 

 binomischen Lehrsatzes enlgegenslelll , zeigt sich in der Be- 

 stimmung von xij{k,k,]. Abel leitet diese Bestimmung mit folgen- 

 den Worten ein: » Zuerst behaupte ich, dass V;(k,k,) eine stetige 

 Funktion von k und k, zwischen beUebigen Grenzen dieser ver- 

 änderlichen Grössen sein wird. In der Thal sind p oder 1 + 

 -+- aXicosöi + «2^2 cos ©2 -+-••• und q oder 1 -+- «Aisinöi + 

 -|- a2A2sinÖ2+ ■ • • stetige Funktionen. Es ist aber 



cost/^(k,kJ= z^^ und siui^(k,k,) = 



rp2-Hq2 »^p^+q^ 



folglich ist cost/;(k,k,) und sintp(k,k,) eine stelige Funktion. Daher 

 kann man voraussetzen, dass es 'ip(k,k,) ebenfalls ist. Da nun 

 ■4>{k,k,) eine stetige Funktion ist, so muss m in der Gleichung 



tp[k -f 1 -H (k,4-l,)i] = 2m.T + t^(k,k,) + i/;(l,l,) 81) 



für alle Werthe von k, k, , 1, 1, denselben Werlh haben.« 



Im Nachfolgenden behandelt nun Abel dieses m wirklich als 

 eine von k , k, , 1 und 1, ganz Unabhängige , was natürlich die 

 Bestimmung von i/;(k,k,) sehr erleichtert, und rechnet mit ip 

 genau so, wie es es durchaus nur mit eindeutigen Grössen zu 

 rechnen erlaubt ist, woraus olTenbar folgt , dass Abel sich unter 

 'i/;(k,k,) nur Einen der unzählig vielen Bogen sich dachte, die alle 



zur Cosinus und ■ zum Sinus haben. t/;musste 



also von Abel im A^erlauf der ganzen Recsnung nothwendig als 

 ein Zeichen angesehen werden , welches die Aushebung eines 

 speciellen Werthes von dem Argument der der Reihe q){k+k,i) 

 gleichen Complexen p H- qi in bestimmter Weise vorschreibt. 

 Wie man aber auch diese Aushebung reguliren mag, so wird 

 man doch stets hiedurch gezwungen werden, dem eindeutigen 

 1/^ für gewisse Stellen das Gepräge der Unsleligkeit aufzudrücken. 

 W^ill man für die Bildung eines eindeutigen V"(k,k,) denjenigen 

 der Werthe des Argumentes von p + qi nehmen, der entweder 

 0, oder zwischen und 2.-r liegt, so werden in den unzählig 

 vielen Fällen, in welchen k, k, , a und rp der Funktion t/;{k,k,) 



