Denzler, arithmetische Untersuchungen. 369 



den Werlh prlheilcn , die Nachbanverthe von cp{k,k,) , die um 

 2.T verschiedenen (irössen £ «iid 2.t— £ sein, wenn £ eine un- 

 endlich klein werdende Grösse bezeichnet. Will man aber jene 

 Aushebung in der Weise reguliren, vt'w. es in unserm Ueweise 

 geschah, so wird t/;(k,k,) freilich nicht mehr wie vorhin an der 

 Stelle 0, sondert! bei .t unstetig, sie springt von .t — f in -.T-i-£ 

 über, was von -t — s wieder um 27t ditTerirt. Fasst man also xfj 

 als eine eindeufitie Funktion auf, und zu dieser Auffassung ist 

 man geradezu gezwungen , so darf man aus der zwar allerdings 

 vorhandenen Stetigkeit von cosip(k,k,) und sini//(k,k,) gewiss nicht 

 auf die Stetigkeit von ip{k,k,) und somit auch nicht auf die Un- 

 abhängigkeit des m von k, k, , I und I, schliesseu. A'ersteht 

 man unter xf) einen Bogen , der entweder = n oder zwischen 

 .T und — .T ist, so muss dieses m in 81) einen solchen von k, 

 k, , I und I, abhängenden Werth haben, für welchen 2m.T -f- 

 ■+■ t/^(k,k,) 4- 1/^(1,1,) zu einem Bogen wird , der entweder = .-r 

 oder zwischen -t und — ,t, mithin oCfenbar entweder 0, oder 

 + 1 , oder — 1 sein. 



2) Der Beweis, den Abel für die Divergenz der Reihe 

 (p(k-\-k,i) gibt, in dem Falle, da rp = ,t , a = 1, k = oder 

 zwischen und —1, ist folgender: 



»Wäre die Reihe fp(k+k,i) in diesem Falle convergent, so 

 hatte sie zur Summe die Grenze der Function 



wenn man a gegen 1 hin convergiren lässt, und cp = ji setzt. 



Es ist aber d = -log. (l+2acosa)+a2) und ^, = arc.tg. -^ —- 



2 ° -r I ^ l+acoscp' 



folglich für cf, = n: J = log(l — a) d, = 0. Die in Rede ste- 

 hende Function 82) geht also in 



(1 - a)''[cos[k,log;i - a)] 4- i sin[k,Iog(l — «)]] 



über. Da aber k = oder negativ ist, so ist klar, dass diese 

 Function, wenn man a sich 1 nähern lässt, keine endliche und 

 beclimmte Grenze hat. Die Reihe fp(k+k,i) ist also divergent, 

 w. z. z. w.« 



Dieser Beweis ist wohl schon desswogen unzulässiff, da 

 durch diesen die Di^ergenz der Reihe fp(k-l-k,i) in einem Falle 

 bewiesen wird, in welchem sie oCfenbar convergent ist. Wenn 

 nämlich k == k, = , so hat cp[k -|- k,i) ganz entschieden den 



