370 Denzler, arithmelischc Untersuchungen. 



>Ncrlh 1 , obschon die von Abel uiilersuchte Function 82) wirklich 

 auch iu diesem Falle keine endliche und bestimmte Grenze hat. 



Zweiter Lehrsatz. 



Es ist 



„log(l+a4-bi; = a + bi— -ta+bi)2+-;a+bip — • ■ • • 83) 



jedoch Jiiir in folgenden Fällen : 



1) wenn mod. (a+bi) < 1. 



2) wenn raod. (a+bi) = 1 und [arg(a-i-bi)]2 < n^. 



Beweis. 



Wenn wir die beim Beweise des ersten Lehrsatzes einge- 

 führte Bezeichnung beibehalten . so findet nach dem Lehrsatz 

 über die Verwandhmff von dem Logarithmus einer Complexen in 

 eine Complexe die Gleichung statt: 



olog[l -H a(cos V 4- i sin 9))] = Jogf(l,0) + i V^(1,0) 84) 



Xun ist nach dem zweiten Zusatz zum ersten Lehrsatz, nur 

 dann, wenn entweder a< 1, oder wenn a = l und zugleich 

 <^- < .7-, der zweite Theil dieser Gleichung 



= [acoS(/) — -«2 cos2g) 4- • • • • -|- iiasint^ — -a^ sm2<;p 4- ....] 



und da dieser letztere Ausdruck 



= a(cos <^ -f- i sin ^) — -a- (cos2y + i sin2g)) 4- • • • • 



so wird man sogleich die Richtigkeil unsers Lehrsatzes erkennen. 



Dritter Lehrsatz. 



Bezeichnen k und k, reelle Zahlen, nicht aus- 

 genommen, hingegen .u eine positive ganze Zahl, und 

 setzt man, wie bisher 

 (k+k,i) • (k+k,i-l)(k+k,i-2) • • • (k+k,i-^4-l) _ /k -H k,i 



r;') 



