über die Bewegung iles Sandkorns auf dem Sieb. 489 



als Bestätigung des über die Approximation Gesagten. Die Diskrimi- 

 nante zl der charakteristischen Gleichung von (11) hat den Wert 



^ = (a, — Ky- -f 4 &i 02 = s' — 4 w- . 

 Es nähert sich demnach TT an 77, aperiodisch oder oszillatorisch, je 

 nachdem ( — — B! (h'i) ) grösser oder kleiner als 4 w' ausfällt. Im 



aperiodischen Fall ist die Grenzlage der Tangente an die Bahn von 

 77 für 77 = 77, bestimmt durch 



, . n — cos 2 (K + y «* — 4 ßj* 



<=oo ^ zsm2a — 2(0 



im oszillatorischen Fall windet sich die Bahn von 77 asymptotisch 

 um den Punkt 77,. 



8. Das spezielle Reibungsgesetz: ü proportional w. 



Setzt man i2 = o fc ?f, wo /.■ irgend eine Konstante ist, so werden 

 die Gleichungen (3) geschlossen integrierbar. Sie gehen über in 



kv J 



woraus zunächst 

 ck 



II, = 



ft^ + i ' -' fc^ + 1 ' '"' fWTT' 

 und alsdann 



H = 2(, H- A cos {c3t)-\~B sin (ö /) p 



V = t'i 4- A sin (a t) — B cos (w t) \e 

 Ist zur Zeit t = 77 in 77g («„ Cg), so ist 



A = (^/o — «i) B = — (Vo — i\) 



und 



sowie 



Lnn, no = at. 



Die Bahnkurve von 77 ist also eine logarithmische Spirale mit 77,, 

 als Windungspunkt, und der Fahrstrahl 77, 77 dreht sich bei der Be- 

 wegung gleichförmig um 77i mit der Winkelgeschwindigkeit co. 



Auch die Gleichungen (1) lassen sich hier sofort integrieren. Es 

 wird 



X = Konstante + — sin (w t) — — cos (cot) v — e " 1 



II = Konstante ~ cos (co i) — — sin (c3 t) -, — e 



■^ ca ^ ■' (o ^ ■' kco ■ I 



Vierteljahrsschr. d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. 55. 1910. 30 



