256 Disteli, Zur Metrik der circularen ebenen 



hang der letzteren unter sich nicht sofort ersichtlich und 

 ein Beweis derselben in der ihnen von Steine?- gegebenen 

 Reihenfolge wird nicht ohne Schwierigkeiten zu führen 

 sein. 



Im Folgenden ergibt sich derselbe aus der Be- 

 trachtung der verschiedenen Formen, welche die erwähnte 

 Sieiner'sche Verwandtschaft annehmen kann. Insbeson- 

 dere die metrischen unter den Sätzen erscheinen als Bruch- 

 stücke der Lehre von speciellen circularen Curven dritter 

 Ordnung und treten mit so grosser Leichtigkeit in Evi- 

 denz, dass ihr Beweis wohl hier am richtigen Platze ist. 

 Man darf zu dieser Annahme um so mehr geneigt sein, 

 als in der zweiten Mittheilung unter Satz 4) Steiner die 

 Curve dritter Ordnung selbst in die Betrachtung einführt^ 

 und diese so — obschon von ihr nirgends die Rede ist 

 — wohl zum eigentlichen Untersuchungsobject wurde, 

 welches zu den interessanten Sätzen Veranlassung gab. 



A. Die Steiner' sehe Veriuandtschaft. 



Die folgenden Betrachtungen beziehen sich zunächst 

 auf die zweitheilige Curve dritter Ordnung, dieselben 

 werden später auf eintheilige und rationale Curven aus- 

 gedehnt. 



L Wir betrachten zunächst eine Steiner'^che, Ver- 

 wandtschaft unter Zugrundelegung eines orthogonalen Vier- 

 ecks Ml . . 1/4, wobei M^ Höhenpunkt des Dreiecks 31^ 

 M2 3/3 ist. (Siehe die Taf.) Zu jedem Punkt P der Ebene 

 gehört dann ein Punkt Q, der von ihm durch jedes Gegen- 

 seitenpaar des vollständigen Vierecks M harmonisch ge- 

 trennt ist. Diese drei Gegenseitenpaare sind aber die 

 Winkelhalbireuden des Diagonaldreicks 8^8283, und so- 

 mit bestimmt jedes Paar entsprechender Punkte P, Q an 



