Curven dritter Ordnung. 281 



16. Die eben betrachtete Verwandtschaft des Schwer- 

 jtunktes hat noch eine andere metrisch interessante Eigen- 

 schaft. Ist ABC in Verbindung mit dem Schwerpunkt 

 S das gegebene Viereck, ahc das Dreieck der Seiten- 

 mitten ; ist ferner p ein willkürlicher Punkt der Ebene 

 und sind ßj, Jj, q die Schnittpunkte der Strahlen pa, 

 jib, pc mit den Gegenseiten von a, h, c; setzt man so- 

 dann abkürzend den Ausdruck 



pa-pb .pc p'a . p'b . p'c _ 

 = ^(p), ebenso — ; n ; — = ^ (P j 



für einen andern Punkt jp' der Ebene so gilt jedesmal 

 für p und p' als entsprechende Punkte die Oleichiing : 

 zl(p) = Ap'j- 



Weil nun für alle Punkte p' der unendlich fernen 

 Geraden (zJ p') = 1 ist, so ergiebt sich der Steiner''&che 

 Satz : 



„Zieht man aus den Ecken a, h, c eines gegebenen 

 Dreieckes durch einen in seiner Ebene liegenden unbe- 

 stimmten Punkt p Strahlen, welche die Gegenseiten be- 

 ziehlicJi in den Punkten «i, &i, c^ treffen, und verlangt, 

 es soll das Product: 



ap . bp . cp = pai . pbi . pCi 

 sein, so ist der Ort des Punktes p diejenige dem Dreieck 

 ahc umschriebene Ellipse, welche den Schwerpunkt des- 

 selben zum Mittelpunkt hat."' 



Dieser Satz ist nur ein Specialfall des folgenden all- 

 gemeinern Satzes : 



Der Ort eines Punktes p, Jur ivelchen der Ausdruck 

 ^(p) = const. = k ist, wird für jedes k eine in der 



