282 Disteli, Zur Metrik der circularen ebenen 



Verivandtschafi sich selbst entsprechende Curre dritter 

 Ordnung. Diese Curven erfüllen für alle Werthe von k ein 

 Büschel, herühren sich sämmtlieh in den Ecken ahc nach 

 den Seiten des umschriebenen Dreieckes ABC, indessen 

 sie die Richtungen dieser Seiten zu gemeinsamen Wende- 

 punkten haben. Die Asymptoten jeder Curve bilden also' 

 jedes Mal ein beziehlich S zu A B C perspectivisch liegendes 

 mit ihm ähnliches Dreiseit, aus dessen Kenntniss man 

 sofort den Werth des Quotienten ^ (p) der zugeliörigeii 

 Curve entnehmen kann. Schneidet nämlich etwa die zu 

 ab parallele Asymptote die Seiten ca und cb in p^ und 



j)2, so ist ^(p) = — = "^ und analog für die andern 

 Asymptoten. 



Wir heben einige zu besondern Werthen von k ge- 

 hörige Curven hervor: Das Dreiseit ABC bildet die 

 Curve für J = 0; der genannte Kegelschnitt Steiners 

 in Verbindung mit der unendlich fernen Geraden for- 

 mirt die Curve für J = 1; das Dreiseit abc vertritt 

 die Curve für J = oo; für z/ = — 1 bilden die Mitten 

 der Seiten von abc das Äsymptotendreieck einer ein- 

 theiligen Curve dritter Ordnung ; für J = — 2 schneiden 

 sich die Asymptoten im Schwerpunkt S, für jJ = — 8 

 hat die Curve in S einen isolirten Doppelpunkt. Für alle 

 Werthe von ^ zwischen und —8 ist die Curve ein-, 

 theilig; für die übrigen zweitheilig, und zwar gehören für 

 alle Werthe von z/ von bis co die Punkte a, b, c zum 

 Oval, für z/ von —8 bis — co diese zum Ast der Curve. 



Auf jeder Geraden der Ebene und auf jedem Kegel- 

 schnitt durch abc bilden somit die Punkte mit gleichem 

 z/ eine cubische Involution, von welcher durch die Drei- 

 ecke ABC und abc zwei Gruppen sofort gegeben sind. 



