Curven dritter Ordnung. 305 



ZU a, weil der Knotenpunkt für die allgemeine orthogonal 



symmetrische Curve das Paar B^B^ vorstellt. Nach der 



frühern Formel (9) lautet ferner die Gleichung der Curve : 



[s' Qi — q'Q2 — iq' — s')o^] [s'qi — q'q.^. -f- {q' — s') q^] = oder 



(s'Qi — q'Q-iY — iq' — .s')- 9.1" = Ö (11) 



von welcher Beziehung aus man jetzt leicht unter Ein- 

 führung eines Coordinatensystenis zum analytischen Aus- 

 druck der Curve gelangt. Bezeichnet man den Knoten 

 als ^Anfangspunkt 0, die Symmetrieaxe als Anfangsstrahl 

 für Polarcoordinaten, so ist zu setzen für die Abstände 

 der Brennpunkte i>'i und B2 von 0: 



q' = q" -.(1 = 2(1(1+ f2), s' = s" — a =- 2a (1 - KT) 



Es ist aber 



Qi' = Q' + q'"^ — 2q' Qcosa 



Q2' = 9' + s'- — 2 s' Q cos a 

 Setzt man diese Werthe in die Gleichung (11) ein, so 

 findet man nach Division mit dem Factor 2q's'Q' und 

 leichter Reduction die Beziehung : 



4 cos et (q' 4- S') Q -f iq' — s')- cos -« — (q' + s'Y — 



Weil aber 



(q' + s'f=lQa', iq' ~sy = 32 a\ 

 SO lautet die Gleichung der Curve in Polarcoordinaten: 



1 — 2 COS^ a 



Q = a . 



COSa 



Aus dieser einfachen und bekannten Gleichungsform 

 bestätigt man leicht die übrigen für rationale Curven 

 geltenden Eigenschaften, die im Vorigen geometrisch ent- 

 wickelt worden sind. 



Zürich, im Herbst 1891. 



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