Zur elementaren Theorie der Landauschen Funktion (p [a] 



Von 



Paul Bernays. 



Einleitung. 



Der Zusammenhang des Picardschen Satzes mit der Theorie 

 der elliptischen Modulfunktionen wird besonders deutlich durch das 

 Bestehen folgendes Satzes: 



Die genaue obere Grenze [(p («)) für den Radius eines Kreises 

 (um den Nullpunkt der komplexen Zahlen-Ebene), in dessen Innerm 

 eine Potenzreihe 



« + X' H 



(in welcher also a und 1 die beiden ersten Koeffizienten sind) kon- 

 vergent und stets von und 1 verschieden ') sein kann, wird darge- 

 stellt durch den Ausdruck: 



'2 3 (" («)) 



Hierbei bedeutet v (x) irgend einen Zweig der (in der ;'>Ebene) 

 unendlich vieldeutigen Funktion, welche die (über der ./--Ebene aus- 

 gebreitete) Riemannscho Fläche, die in den Punkten (), 1, cc Verzwei- 

 gungen unendlicii hoher Ordnung besitzt (und im übrigen unverzweigt 

 ist), umkehrbar eindeutig und konform auf die obere Halbebene ab- 

 bildet (wobei der von nach 1 führende, auf der- Axe des Reellen 

 senkrecht stehende Halbkreis ein Bild des von nach 1 führenden 

 geradlinigen Weges in der x-Ebenc ist). ^ [y (./■)) bezeichnet den 

 Imaginär-Teil der Funktion f (./;);-) 



I >/ \ dv(x)\ 



') Im folgenden werde ich zuweilen eine Funktion, die in einem Kreise 

 /■ < r die Werte und 1 auslässt, kurz als eine ,für i x < r von und 1 ver- 

 schiedene Funktion* bezeichnen. 



') Bei einer komgilexen Grösse e miige allgemein 91 [z) den reellen, 3 {-) 'le" 

 imaginären Teil bedeuten, sodass 



j = SR (,') f- j • 3 (e) ist. 



Vlertoljahrsschrlft d. Xatarf. Ges. Zürich. .Jabrg. 68. 1U13. 14 



