204 Paul Beniays. 



Die Gleichung 2 ^ (.(«)) 



ist von Herrn Caratheodory auf Grund der Eigenschaften der 

 Funktion v (.') und ihrer Umkehrungs-Funktion A (//) bewiesen wor- 

 den. ') (Dass q) {cc) für jedes « endlieh ist, hat zuerst Herr Landau 

 gefunden. -)) 



Die Formel (1) hat für reelles, zwischen und 1 gelegenes a 

 eine einfache Bedeutung. Es ist nämlich, wie Herr Hartogs be- 

 merkt hat^), für beliebiges komplexes «: 



worin 



1 1 



J y(i-<^){i-«<2) ' J y'ci - f) (,i - (1 - «) t^) 



zu setzen ist. ^) Für reelles u ergibt sich daraus die Formel: 



cp(a) = ^-\miK)-m(K')-cc{l — a)\. (2) 



Ist speziell < « < 1, so sind in K und K' die Ausdrücke unter 

 den Quadratwurzeln positiv; werden also die Wurzeln positiv ge- 

 nommen, so ist 



\m{K)-m(,K')\ = KK'. 



Andrerseits ist nach Gauss ^) für a>h>0 



1 ¥ 



dt C d<f n 



r ^' = f. 



J ]l(l-i^){a'-{a'--b'']i-) J 



- i^) (a'' — {a- — b-) t-) J ]/ a^ cos'' cp + ¥ sin' cp 



2 • fi (a. ft) 



wobei fi («, fc) das arithmetisch-geometrische Mittel von a und </ be- 

 deutet, und daraus folgt unmittelbar: 



^■fi(l,]/a) 2-/it(l,Vl-a) 



Die Gleichung (2) nimmt demnach für < « < 1 folgende Ge- 

 stalt an : 



') „Sur quelques generalisations du Iheoreme de M. Picard', Comples rendus . . . 

 Bd. Hl, 1905, S. 1213—15. 



^) Über eine Verallgemeinerung des Picardschen Satzes", Sitzuugsbericlite der 

 legi, preuss. Akademie d. Wissensch., 1904, S. lllS — 33. 



^) Siehe in Herrn Landaus Abhandlung ,Über den Picardschen Satz', Viertel- 

 jahrsschrift d. Naturf. Gesellschaft in Zürich, Jahrgang 51, 1906, auf S. 273—74. 



*) Für « = und a = l ist die Formel als Limes-Gleichung aufzufassen. 



^) Vgl. die Abhandlung „determinatin attraclionis . . .', § 10. Ges. Werke Bd. III, 

 S. 352-53, 1818. 



