Zur elemenlaieii Tlieniie der Laiidausolieii Funktion (p (a). 205 



^ .«(l,V«^-.uU,Vl — «) 



Der oleiiieiitare Charakter dieser Formel legt den Versuch eines 

 elementaren Beweises nahe. Ein solcher lässt sich in der Tat führen. 

 Man kann nämlich von dem Ausdruck auf der rechten Seite der 

 Gleichung (3), der mit O (a) bezeichnet werden möge, folgende 

 Eigenschaften nachweisen : es ist 



0(^k) = 0(1 — «") (aO 



^^ 2-(i-Va) \(t+v„)-; 



hm — 4- = 2. (Ci) 



i]a und log— sind hierin positiv zu uchniunj 



Von diesen drei Gleichungen (^welche sich auf das Intervall 

 U < « < 1 beziehen) ergibt sich die erste unmittelbar aus der Gestalt 

 des Ausdrucks von (P {u), die zweite aus der Fundamentaleigenschaft 

 des arithmetisch-geometrischen Mittels und die dritte aus der Inte- 

 gral-Darstellung von (i [a, h). Die Verbindung der Gleichungen (a,) 



und (0,) ergibt: $(„) 



hm — 7 — -— 2. (c,) 



a=j (1 - a) log -y^ 



Nun lässt sich ferner leicht zeigen, dass durch die Gleichungen (bj) 

 und (c| ) die Funktion (o) (für < a < 1) eindeutig bestimmt ist. 

 Um daher die Gleichung {?>) elementar zu beweisen, braucht man nur 

 für die Funktion (p («) die Gleichungen (a,), (b,), (Ci) auf elementarem 

 AVege abzuleiten. 



Man kann aber sogar für alle komple.xeu Werte von « be- 

 weisen, dass 9, (ß) = 9, (1 - «) (a) 



'^^"^^! 2(1-1/^) rnoTv^) ^') 



lim_?M^ = 2 ist.^) (c) 



a = |a|lgj.l| 



Die Gültigkeit der Gleichung (a) folgt unmittelbar aus der 

 Definition von (p(a), die Gleichung (b) ist von Herrn Landau ele- 



') Der Pfeil unter dem Limes-Zeichen deutet an, dass der rechtsseitige Limes 

 gemeint ist Ein entgegengesetzt gerichteter Pfeil hezeichnet den linksseitigen I^imes. 



*) Mit \g3 soll hier wie im folgenden stets derjenige Wert von log^ bezeichnet 

 werden, dessen imaginärer Teil zwischen (— jt) (exklusive) und (-f n) (inklusive) 

 liegt, sod.-iss für positives z das Symbol Ig^ den reellen Wert von log 5 bedeutet. 

 — Die Gleichung (b) gilt bei willkürlicher Normierung der Quadratwurzel. 



