206 Paul Bernays. 



mentar bewiesen '), und für die Gleichung (c) soll im folgenden ein 

 elementarer Beweis gegeben werden. (Mit Hülfe der Formel (1) ist 

 sie bereits von Herrn Landau bewiesen worden.-)) 



Bei dem Beweise von (c) wird wesentlich ein Satz von Herrn 

 Landau benutzt, welcher eine Erweiterung folgendes von Herrn 

 Schottky entdeckten Satzes (I) ist: Es sei f{x) für \x\<r regu- 

 lär und von und 1 verschieden, /(O) = Oo; dann gibt es für die 

 absoluten Werte von /(.r) auf einem Kreise \x\ = %r {Q<%<\), 

 und folglich auch innerhalb dieses Kreises, eine nur von «„ und 9" 

 abhängige obere Grenze il (a,,, <&') ; und zwar istß [a^, •&) (bei festem %■) 



beschränkt, wenn | ao | , 1 — , -; unterhalb gegebener Grenzen 



liegen. 



Herr Schottky hat für diesen Satz zwei elementare Beweise 

 gegeben') und dabei noch etwas mehr bewiesen, nämlich die Ab- 

 schätzung / 1 \3 



|log/(x)|<A-{^) (für i^-I^Or), 



in welcher k eine nur von «q abhängige Grösse bedeutet und log /'(*■) 



so normiert ist, dass , ,, ^- 



logy(0) = lgao 



ist. (Bei dem ersten Beweise tritt an Stelle der dritten Potenz von 



-, s: die vierte auf. Man kann aber auch hier die dritte Potenz 



1 — ■ir 



erhalten, indem man die Schlussrechnung analog ausführt wie bei 

 dem zweiten Beweise. /.• kann (nach dem zweiten Beweis) gleich 



!lgao| + 2'ä.3nai-(laol, |l-ao|, | — L It"^^» I^^L i ^"^^ I) 

 ! ö I ' * y I . I I ' j a„ I I 1 — a„ i ' I «0 — 1 I 1 «o I / 



gesetzt werden. *) — Durch Anwendung der Modulfunktionen gelangt 

 man zu der besseren Abschätzung 



ik' ' \ 



') In der Abhandlung ,Sur quelques generalisations du theoreme de M. Picard', 

 Annales scientif. de l'ecole normale superieure Bd. ;J4, 1907, auf S. 197. 



^) In der schon genannten Abhandlung ,Über den Picardschen Satz' auf S. 298. 



*) Siehe die Sitzungsberichte d. kgl. preuss. Akad. d.W. ,Uber den Picardschen 

 Satz und die Boreischen Ungleichungen', 1904, S. 1244 — 62 und „Über zwei Beweise 

 des allgemeinen Picardschen Satzes', 1907, S. 823—40, § 1 und 4. 



*) Sind Ci,...,Cn reelle Grössen, so bezeiclme 9Diaj (Cj , . . . c„) den kleinsten 

 Wert, der ^ c,. (für r = 1, . . ., n) ist, Silin (C,, . . •, d) den grössten Wert, der ^ c,. 

 (für V = 1 n) ist. 



^) Vgl. hierüber Herrn Landaus Abhandlung ,Über den Picardschen Satz' 

 § 12, in Herrn Schottky s Abhandlung ,Über zwei Beweise des allgemeinen 

 Picardschen Satzes' die §§ 2 u. 3 und die Abhandlung von Herrn Levy „Remarques 

 sur le theoreme de M. Picard", Bulletin de la soc. niath. de France, 1912, S. 25 — 39. 

 Zum Beweise des Satzes (I) hat die Modulfunktionen zuerst Herr Caratheodory 

 herangezogen (in der genannten Abhandlung , Sur quelques generalisations .. .' vom 

 Jahre 1905). 



