Zur elemeiilaron Theorie der Laiulaiisclien Funktion «jp («). 207 



Herr Schottky verwendet bei seinen Beweisen die von Herrn 

 Borel zum elementaren Beweise des Picardschen Satzes') erfundene 

 Abscbätzungs-Methode. Noch enger an das Boreische Beweisver- 

 fahren schliesst sich ein von Herrn Lindelöf für den Satz (1) ge- 

 gebener Beweis^) an. Dieser ist gegenwärtig der einfachste elemen- 

 tare Beweis des Satzes (I). Die Abschätzung, die er liefert, ist aber 

 weniger scharf als bei den Schottkyschon Beweisen. Es ergibt sich 

 niimlicli nur i^für .<■ < dr) 



!log/(.)!<^-.(^_^^-y. 



(in der Abhandlung von Herrn Lindelöf steht sogar die 6'° Potenz 



1 . . . . . \ 



von _ „- ; diese iässt .sich aber leicht durch die vierte Potenz ersetzen.) 



Man kann jedoch den Lindelöf sehen Beweis so modifizieren, dass er 

 zu einer ebenso scharfen Abschätzung führt wie der von Herrn 

 Schottky; zugleich wird dabei eine gewisse Vereinfachung erzielt. 



Die Erweiterung des Satzes (I) durch Herrn Landau besteht 

 nun in dem Zusatz, dass Sl {a^, 9) für Oq ] ^ M unterhalb einer nur 

 von AI und & abhängigen Grenze il {AI, &) liegt, so dass sich folgen- 

 der Satz (H) ergibt: 



Wenn / (x) für [ 3; | < r regulär ist und die Werte 0, 1 auslässt 

 und wenn \f{0)\^ AI ist, so existiert für jedes positive &<l eine 

 nur von AI und 9 abhängige obere Schranke für die absoluten Werte 

 von y\./) in und auf dem Kreise .'i ~ 9r. 



Diese Behauptung hat Herr Landau^) mit Hülfe der Modul- 

 funktion - „ N, 



^'^^ 27 i^(x}-(l{x)-iy- 



und ihrer Umkehrungsfunktion a (i/) bewiesen. Man kann sie auch, 

 wie ich gefunden habe, durch einen einfachen elementaren Schluss 

 aus dem Satz d) herleiten.^) Kürzlich hat Herr Levy"') an dieser 



') .Demonstration el^mentaire il'un theoieme de M. l'icaid . . .', Comptes 

 Tendus Bd. Ii22, 1896, S. 104.J-48. 



•) Siehe die Abhandlung ,Sur le theoreme de M. Pioard dans la theorie des 

 fohctions monogenes', tlompte rendu du congrte des mathematiciens lenu ä Stock- 

 holm, mO'J, S. 11-2—36. 



') In der zusammen mit Herrn Bohr verfasslen Abhandlung ,Cber das Ver- 

 hallen von H,s) und f« (s) in der Nähe der (ieraden o= 1', Nachrichten der K. Ges. 

 <l Wissensch. zu Göttingen, malh. phys. Klasse, 1010, S 2. 



') Herr Landau hatte die Freundlirhkeit, die Darstellung meines Beweises in 

 die von ihm gemeinsam mit Herrn Caralhtiodory verfasste Abhandlung .Bei- 

 trüge zur Konvergenz von Funktioneiifolgen' (Sitzungsberichte d. kgl. preuss. Akad. 

 d.W., l'.tll, S. 587— 613) aufzunehmen. 



') In der (in der Anmerkung '> auf der vorigen Seile) erwähnten Aliliandlun;,' 

 .Remarques sur le thioröme de M. Picard". 



