208 Paul Beniays. 



Schlussweise noch eine Vereinfachung angebraelit, durch welche man 

 auch eine bessere Abschätzung von Sl(M,&) erhält als durch meinen 

 Beweis. (Die schärfste bisher gefundene Abschätzung von il (J/, ^) 

 bildet die von Herrn Landau durch Anwendung von Eigenschaften 

 der Funktion J{x) abgeleitete Ungleichung 



jy ieuv + 2) 



Si{M,&)<e ' '"* , 



in welcher D eine absolute Konstante bedeutet. O) 



Ich will nun im ersten Paragraphen den elementaren Beweis 

 des Satzes (II) (unter Benutzung der erwähnten Levyschen Schluss- 

 weise) darstellen und bei dieser Gelegenheit die Vereinfachung des 

 Lindelöfschen Beweises (von Satz (I)) angeben. Im Anschluss daran 

 erwähne ich noch einige einfache Folgerungen aus dem Satz (ID. -) 



Im zweiten Paragraphen soll mit Hülfe des Satzes (II) die 

 Gleichung (c) für die Funktion cp («) abgeleitet werden, aus der dann 

 auf die vorhin angedeutete Weise die Gleichung (3) gefolgert wird. 

 Aus der Formel (3) kann ich dann auch leicht auf die Gleichung (2), 

 das heisst auf die Gültigkeit der Formel (1) für beliebige reelle 

 « schliessen. 



Aus der Gültigkeit der Limes-Gleichung (c) für qi (a) folgt ins- 

 besondere die Endlichkeit von lim sup 



' = |«|.lg|i| 



Hierfür hat Herr Gronwall kürzlich einen einfachen direkten 

 Beweis gefunden.^) Neben diesem werde ich noch einen andern 

 direkten Beweis angeben. — 



Aus der Endlichkeit des lim sup — '''",. in Verbindung mit 



a = o |„[.lg|_j 



der Beschränktheit von g) (a) in jedem endlichen Gebiet der a-Ebene 

 (welche sich aus dem Satz (II) ebenso ergibt wie die Endlichkeit 

 von <p (k) für jedes a aus dem Satz (I)) kann man, wie Herr Landau 

 gezeigt hat*), schliessen, dass für jedes Paar von positiven, unterhalb 

 1 gelegenen Zahlen ^i, &2, welche der Bedingung ^, +&o > 1 genügen, 

 eine Ungleichung 



^ (a) < ^ • 1 a l"*' 1 1 — a 1*2 



') Siehe in der eben genannten Abhandlung der Herren Landau und Bohr 

 „Über das Verhalten . . .' § 6, S. 19. 



') Die dazu gehörigen Literatur-Angaben siehe auf S. IS u. 20. 



^) Siehe ,Sur un theoreme de M. Picard', Comptes rendus . . . Bd. 1.5.5, 11112. 

 S. 764— 6G. 



•) Siehe „Über den Picardschen Satz" auf S. 281—84. 



