Zur elementaren Theorie der Landauselien Finiklioii <p (a). ÜO'.t 



bestellt, in wclclier .-1 (bei festem 9^, %.,) eine Konstante ist. (Auf 

 diesen Satz wurde Herr Landau durch eine Entdeckung von Herrn 

 Hurwitz geführt, der durch Betrachtung der Funktion J [^m) die 

 Ungleichung 



cp{a)<, 16;«;^"- |i — «i"^ 



gefunden hat. ')j 



§ 1. 



Sämtliche elementaren Beweise des Picardschen Satzes stützen 

 sich auf gewisse Ungleichheitsbeziehungen, die zwischen dem absoluten 

 Betrage und dem reellen Teil einer (in einem Kreise) regulären 

 Funktion bestehen. Solche Beziehungen sind zuerst von den Herren 

 Hadamard und Borel entdeckt worden. In schärferer Fassung hat 

 sie Herr Caratheodory aufgestellt.-) 



Diese Ungleichungen sollen zunächst nach der Methode von Herrn 

 Caratheodory abgeleitet werden. 



Es seij\x) eine für \x'<r reguläre Funktion und 



/■(O) = «0- 



Zur Abkürzug mögen die Maximalwerte von \f{-iV, SR (/(./•)), 

 5R ( — f (x)) auf einem Kreise 



\x\ = li{<r) 



bezüglich mit M{11), A{E), B (B) bezeichnet werden. f{x) werde 

 vorläufig als nicht konstant angenommen. 

 Dann ist jedenfalls 



.l/(Ä)>yl(7i')>9i(«„), 



^f{E)>B{R)> -9i(«o)- 



(T,, sei die zu a„ konjugiert komplexe Grösse. Nun werde die 

 Funktion 

 , /^(x)-«o ^ i{^{M)-^{ao)) + {A{r}-di{a,))-{A(r)-^ {f(^))] 



'-^^ f(x)-i-ä„-iÄ ir) i (3 (/-(r)) - 3 (a,\) - [A fr) - 9t («„)) - [A (»•) - iR {f(x))) 



betrachtet. Diese hat im Nullpunkt den Wert 0. 



') Siehe die Abhanillung ,Über die Anwemlinig der elliptischen ModuHiinkliDnen 

 auf einen Satz der allgenjeinen Funktionenlheorie', Vierteljahrsschrift d. .Xaturf. Ges. 

 in Zürich, Jahrg. 49, 1U04, S. "242—53. 



') Genaueres hierüber siehe in Herrn Landaus .-Vlihandlun}.' ,riierdeii l'ii-ard- 

 schen Satz' auf S. 27.5—77. 



