210 Paul Bernays. 



Da ferner (für x < r) 



Air)-m{f{x))>0 

 und A (r) — 9i (ao) > ist, 



so ist g (x) für ]j;|<r regulär und absolut genommen < 1. 

 Folglich ist nach einem Satz von H. A. Schwarz') 



für 1 ,7- ! < 9 < r 

 und da 



ist, so folgt für \x\<Q 

 l/O'O - «0 1 < ;^ffj)| (A (r) - SR (ao)) < ^^ (A (r) - 5R («„)) • 

 Hieraus erhält man: 



\f{x)\S\ao\ + ^{A{r)~m{a,)), 

 ferner folgt: 



9^ («o) - 9i ((/ (■^)) ^ 7^ (^ (0 - 9^ («o)) , 

 9? (-/(^)) 5-9^ («o) + ^ {ä (r) - 5R («o)) • 



Diese Ungleichungen gelten offenbar auch, wenn /(a;) konstant ist. 

 Demnach ergeben sich folgende Abschätzungen: 



M (p) < I «0 i + 7!^ {A (/•) - 9t (a„)) (1') 



B (p) <-m (ao) + -^ (4 (r) - SR (a«)) , (2') 



wobei noch zu bemerken ist, dass, unbeschadet der Gültigkeit der 

 Ungleichungen, an Stelle von ^ jeder grössere Wert, zum Bei- 

 spiel —^ — , treten kann. 



Die Formeln (1'), (2') sollen jetzt angewendet werden zum Be- 

 weise folgendes Satzes (!') : 



F{x) sei für \x\<r regulär und von und 1 verschieden. 



-) Siehe „Zur Theorie der Abbildung', Ges. math. Abh. Bd. II. S. 110-11. 



