Zur elementaren Tlieorie der Landausclien Funktion (p{ot). 211 



Ferner sei 



ii^(0);<iV, SR(F(0))>-|, {N>1). 



Dann ist für '.v' = 9-y, 0<^<1 (also auch für \x\<9)-): 



wo C eine nur von N abhängige Grösse bedeutet.') 

 (Es wird sich zeigen, dass zum Beispiel 



C=753-(.V+1)='-' 

 gewählt werden kann.) 



Es genügt, den Beweis für den Fall zu führen, dass die für 

 I ar I <>■ geltenden Voraussetzungen für ] x | = r erhalten bleiben. Denn 

 ist in diesem Fall der Satz gültig, so folgt im allgemeinen Fall, dass 

 für jedes positive r'<r und jedes positive O', < 1 auf dem Kreise 

 |x- = ■9', • /■' die Ungleichung 



gilt. Andrerseits ist, wenn % die in dem Satz [V) auftretende Grösse 

 (zwischen und 1) bedeutet, für jedes zwischen & ■ r und r gelegene r 



r 

 und, wenn 9 • - , = Q'i gesetzt wird, 



folglich für X, = ■9t 



Irr^)' 



\F(x)\<e 



Da diese Ungleichung für jedes r' besteht, das genügend nahe 

 an r liegt, so muss (für \x\ = &r) 



|F(x)|<]ime 



i-^J 



sein, wie der Satz (!') behauptet. 



Wir nehmen also an, dass F (x) für \x\<r regulär und =}= 0, 1 

 ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sich zwei für | x | < r regu- 

 läre Funktionen G, (./,), Gj {x) bestimmen lassen, für welche die 



Gleichungen e 



F{x) = e ' 



') Dieser Salz ist etwas spezieller als der (in der Einleitung formulierte) 

 Salz (1). Die Spezialisierung ist jedoch für den Beweis unwesentlich. 



