Zur pipnientareii Theorie der Lanilauschen Funktion «p («). 217 



Damit ist der Satz (!') bewiesen. 



Es sei noch erwähnt, dass man durdi eine Kombination der zu- 

 letzt erhaltenen Abschätzung für il7, , {g) mit der (auf die Radien 

 Q = p, q" =^ - -^ = — ^ — • )• anzuwendenden) Formel {^^') eine 

 Ungleichung erhält von der Form : 



M, , {9) < (y-l ^)'"'- {q : r, lg j^ + c-3 lg (A' + l)j 



<c,lg(.V+l).(^pg^, 



worin c, , c^. '3, c^ absolute Konstanten bedeuten. 



Das angedeutete Verfahren lässt sich beliebig oft wiederholen 

 und man gelangt dadurch zu immer neuen Abschätzungsformeln für 



.u,,(e). - 



Aus dem Satz (!') kann man nun folgondermassen den Satz (II) 

 folgern : 



Es sei /(.'■) für i.''|< /• regulär und von und 1 verschieden; 



1/(0^1 <J/. 



Dann hat (l —/{■'')) für \x\< }• dieselben Eigenschaften wie f{x), 



und 11— /(0)| <i»f-M. 



Unter den Funktionen f{x) und 1 — f{x) lässt sich (mindestens) 

 eine wählen, deren reeller Teil im Nullpunkt > — ist. Sie heisse g {x). 



Mit H{.i) werde diejenige der beiden Funktionen ]'(/{■'■) be- 

 zeichnet, die im Nullpunkt einen positiven reellen Teil hat. Dieser 



j)ositive reelle Teil ist, wie man leicht sieht, > 1 ^ • 



Da ff (j-) für !./'| < r die Werte und 1 auslässt, so ist H(x) in 

 diesem Kreise reguläi' und von 0, 4-1, — 1 verschieden: folglich ist 



F{x)=--l-\-H{.r) 

 für .<• < )■ regulär und 4= 0)1- Ferner ist 



9t (F(0)) > 1 4- l'l > f , \F{0)\< 1 + \'\JW\^ 1 + \''^^+^- 

 Setzt man also 



1 + iw+i = N, 



so erfüllt F{j) alle Bedingungen des Satzes (I'). Denmacli ist 

 für .-■ < ü = 4t • /■. < ^ < 1 



