218 Paul Bernays. 



|i^(aO|<e^(^) ; C = 753 ■ (i</-h 1)^ 

 \g(.x)\<{l^\F (x) \)-< 2 (l + ! i^ (x) I ^) ^ 2 H- 2 e' ^ (t^)' 



1/(^)1 <l + |^(xO|<3 + 2e^^(T^)'<e^^"-^(T^r<e"+^^'-(T^)' 

 Wird also 



H- 2 C = 1 + 1506 (2 + Vif+T}" = C 

 gesetzt, so ist für j.r|<i^»- 



|/(a;)t </'■ (t^)'. 



In dieser Ungleichung ist folgender Satz enthalten: 



Bedeutet Sl (a„ , &) die obere Grenze für die absoluten Werte, 

 welche eine innerhalb des Kreises \x\ = r reguläre und von und 1 

 verschiedene Funktion mit dem Wert «o ™ Nullpunkt auf dem Kreise 

 \x\ = d'r annehmen kann (wobei < it < 1 vorausgesetzt wird), so 

 ist ß («(,,■&) für jeden Wert von a^ endlich, und zwar liegt (bei 

 festem i^) a{a„, ■9') für alle Werte cIq, deren absoluter Betrag eine 

 positive Grösse M nicht übersteigt, unterhalb einer endlichen Grenze 

 ß {M, &). 



(Diese Behauptung ist gleichbedeutend mit dem in der Einleitung 

 genannten Satz (11)). 



Überdies hat sich ergeben, dass 



ß {M, %) < e^' (^^ ist. 



Aus dem bewiesenen Satz (II) lässt sich, wie Herr Montel be- 

 merkt hat ') auf elementarem Wege folgendes Resultat entnehmen : 

 Sind 6, M, & drei positive Grössen, von denen ■9' noch der Bedingung 

 unterworfen ist, unterhalb von 1 zu liegen, so lässt sich stets eine 

 positive Zahl 



d'o = 8, {d, M, ^) 



so bestimmen, dass für jede Funktion /{x), welche im Kreise \x\< r 

 regulär und 4=0,1, im Nullpunkt absolut < If ist, und für jedes 

 Paar von Punkten ./■,, jc^, die dem Gebiet 



\x\ ^ 'S- r 

 angehören und die Bedingung 



') Siehe ,Sur les familles de fonctions analytiques, qui admettent des valeurs 

 exceptionelles dans im domaine", Annales scientif. de l'ecole normale superieure 

 Bd. 29, 1912, auf S. 492. 



