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ergibt sich, dass gleichmässig für alle Funktionen /(.;;), die für l'l < r 

 regulär und 4= 0, 1 sind, und deren absoluter Betrag im Nullpunkt 

 den Wert M nicht überschreitet, 



lim/(.r)=/(ü) 



ist. Diesem von Herrn Caratheodory gefundenen') Satz kann man 

 eine Formulierung geben, bei der die Bedingung j/(0)|<il/ elimi- 

 niert ist. Zu dieser gelangt man, indem man berücksichtigt, dass 

 zugleich mit f{x) auch -r^ry die Bedingung erfüllt, für j:<:|<;- 

 regulär und von und 1 verschieden zu sein, und dass für (minde- 

 stens) eine der beiden Funktionen fix), -jj-^r der absolute Wert im 

 Nullpunkt <1 ist. Man erhält so folgendes Ergebnis: 



Zu jeder positiven Grösse ä lässt sich eine nur von d abhängige, 

 positive Zahl i^o derart bestimmen, dass jede Funktion /(,r), die für 

 \x\< r regulär und 4= 0, 1 ist, in dem Kreis-Innern 



X' j < ■ö'o ■ /• 



(mindestens) einer der Ungleichungen 



[/(..) -/(0)<d, \j^~'f~y\<ä 

 genügt. 



Wählt man speziell ö = 1 und beachtet, dass im Falle 1/(0) | < 1 

 die erste, im Falle |/(0)| > 1 die zweite der beiden Ungleichungen 

 gilt, so findet man : es gibt eine absolute, positive Konstante ■ö-q 

 von der Eigenschaft, dass jede für \x\ < r reguläre und von 0, 1 ver- 

 schiedene Funktion in dem Kreise 



absolut genommen, entweder beständig < 2 oder beständig > ^y ist, 

 einen Satz, den kürzlich Herr Caratheodory aufgestellt hat.-) 



') Die gleichmässige Existenz des Limes fiir alle im Kreise j.i'i < r regulären 

 und von und 1 verschiedene Funktionen, die im Nullpunkt einen bestimmten 

 Wert «0 besitzen, bewies Herr Caratheodory bereits in der Abhandlung ,Sur 

 (jnelques generalisations ..." 



°) Siehe ,Sur le theoreme general de M. Picard", Comptes rendus . . . Bd. l'A-. 

 l'M% S. 1690— 9ä (Theoreme I). Dort wird insofern etwas mehr ausgesagt, als der 

 Nullpunkt von dem Bereich, auf den sich die Voraussetzungen beziehen, ausge- 

 schlossen wird. Ausserdem erfährt der Satz (in dem Theoreme II) noch eine Ver- 

 schärfung. 



