Zur elenienlaieii Theorie der I,;iiuliiusclien Funktion <p (n). !2:il 



§ 2. 



Im Anscliluss an Hcirii Laiulau l)ezi'iehne icli mit g? («q. «,) die 

 obere Grenze für den Radius (r) eines Kreises um den Nullpunkt, 

 innerhalb dessen (mindestens) eine reguläre Funktion ./(.') existiert, 

 welche die Werte 0. 1 auslässt und den Bedingungen 



/(0) = ao, /'(0) = (^^)_^=«. 



genügt, die sich also für |j' < '■ in eine Potenzreihe 



ito -i- a, j: ^ 



eutwickeln lilsst. a, werde dabei von verschieden angenommen. 

 Uiircli die Bezieiiung 



^(ao,ai)= j^qp(«o,l), 



welche sich leicht veritizieren lässt, wird die Betrachtung von q> (a,,, «,) 

 zurückgeführt auf die von g)(«o,l). Statt «q soll im folgenden der 

 Buchstabe « eingeführt und 



q){a, 1) = (p{tt) 

 gesetzt werden. 



Nach dieser Definition von q> {a) muss zunächst 



g) (,0) = 9 (n = 



und für jeden von <> uinl 1 verschiedenen Wert von a 



<p(ce) > 

 sein. 



Aus dem Satz (ID folgt ferner, dass 9 (a) nicht nur für jedes 

 komplexe a einen endlichen Wert hat, sondern sogar in jedem end- 

 lichen (jebiet der «-Ebene beschränkt ist. 



Ist nämlich « =^ 0, 1, r < (f («) und 



f(x) = a^-xH 



eine für Ix < r reguläre, stets von und 1 verschiedene Funktion 

 ( — eine solche muss es ja nach der Definition von (p (a) geben — ) , 

 so ist gemäss einer Cauchyschen Ungleichung 



1= !/'(0)i<7- Ü«a5 (i/(x')i) <— ^ 



.'MI 

 Also ist für « < M und für jedes r< g) («) 



