222 Paul Bernays. 



Demnach miiss für j a | < M 



<p(a)<2Si(M,D (1') 



sein. — 



Aus der Definition von (p{K) lässt sich folgender Satz ableiten: 

 Es sei F{x) eine eindeutige oder mehrdeutige komplexe Funktion, 

 die für jeden von und 1 verschiedenen Wert der Variablen ./■ regu- 

 lär und =r 0, 1 ist; ausserdem sei für .r =[= 0, 1 



F\x) + 0. 

 Dann ist (für k =|= 0, 1) 



9{-)<'p^9{F(<^)), (2") 



und zwar darf im Falle der Mehrdeutigkeit von F (.r) für F{a) will- 

 kürlich einer der Funktionswerte an der Stelle ./■ = a gewählt wer- 

 den; für F' (a) ist dann der zu F(a) gehörige Wert der Ableitung 

 F' {x) zu setzen. 



Ist überdies die zu F^.r) gehörige (eventuell mehrdeutige) Um- 

 kehrungs-Funktion in der Umgebung jedes von und 1 verschiedenen 

 komplexen Wertes der Variablen regulär und =(= 0, 1, dann ist 



"P ^«) = JWW "^ (^ ^"^) ^^"' « + O'i) • (^"> 



Zum Beweis des ersten Teils der Behauptung nehme man 



< r < (p (a) 



an ; dann gibt es eine für j a; | < r reguläre und von und 1 ver- 

 schiedene Funktion 



/(x) = « + .(• + •••. 



Zu Folge der Voraussetzungen ist dann auch 



F {/{x)) = F{a) + F' («) • X' + ■ • ■ 



für \x\< r regulär und =}= 0, 1. Dabei kann, wenn F(x) mehrdeutig 

 ist, ein Zweig von F{x) so gewählt werden, dass i^(/(0)j gleich 

 einem beliebig vorgeschriebenen der AVerte von i^(a) für a; = k ist. 

 Demnach folgt (bei willkürlicher Normierung von F{a) für eine 

 mehrdeutige Funktion F{.rj\ 



r<cp {F{a), F'{a)) = j^^ ■ <p {F {a)) . 



Da dies für jedes positive r < (p (a) gilt, so muss auch 



