224 Paul Bernays. 



ergeben sich die Gleichungen: 



(p («) = f/i (1 — a) (a) 



?'(«)= kl'- 95 (-)• (a) 



(Da cp{0) — (p (1) = ist, so gilt die Gleichung (a) für alle 

 Werte von «, (a') für alle von verschiedenen a.) 



Eine weitere Funktionalgleichung erhält man durch die Betrach- 

 tung der Funktion 



ii^(.r) = sin-^(2arctgV^), 



zu deren eindeutiger Definition die vierte Wurzel und der arc tg auf 

 irgend eine (willkürliche) Weise normiert seien. Diese Funktion ist 

 für X 4= 0, 1 regulär und von und 1 verschieden. Denn lässt x 

 die Werte 0, 1 aus, so lässt ]'.r die Werte 0, ± i, + i aus; daher 

 ist arc tg ]!x regulär und von jedem ganzzahligen Vielfachen von 

 -j verschieden, und sin (2 arctg \\'0 ist regulär und verschieden von 



0, +1, — 1. 



Auf entsprechende Art sieht man ein, dass die Umkehrungs- 

 Funktion von Fix), 



(//) = tg^ [j arc sin V/y ) , 

 für y =4= 0, 1 regulär ist und die Werte 0, 1 auslässt. Da feiner 



und demnach F' (./)' für x ^ \ von verschieden ist, so folgt gemäss 

 der Gleichung (3") : 



, s I y.r(i + v^)' I / 4 y<7 \ ., >, 



-^^'^^=1 2(i-y^) |-Hli1^V?7J' ^'^ 



wobei für die Quadratwurzel willkürlich einer der beiden Werte ge- 

 wählt werden kann, da ja in der anfänglichen Darstellung von F (x) 

 die vierte Wurzel willkürlich normiert werden darf. 



(Die Gleichung (b) ist zunächst nur für « =|= 0, 1 bewiesen. ') 

 Offenbar gilt sie auch für « = 0.) 



') Die zum Beweise von (b) angewandte Ül)erlegung ist nur eine Einkleidung 

 des von Herrn Landau für die Formel (b) gegebenen Beweises aus der Abliand- 

 lung ,Sur quelques gen^ralisations du thöoreme de M. Picard'. Vgl. in der Einleitung 

 die Anmerkung 1 auf .S. 6. 



