Zur eletnontaren Theorie der Landauschen Fuiiktiun <p(«). '■2'2^> 



Aus der Gleichung (h) ergibt sich übrigens die Formel (a') durch 

 ^'e^tauschung von a mit • 



Zu den Funktionalgleichungen tritt als charakteristische Eigen- 

 schaft der Funktion ^ ^a) das Bestehen der Limes-Gleichung 



i™:^^ = 2- (c) 



Zum Beweise dieser Gleichung soll folgender elementare Satz 

 aus der komplexen Funktionen-Theorie benutzt werden : 



Es sei innerhalb eines Kreises .v\ = >• eine Funktion y'(x) regulär, 

 welche die Eigenschaften besitzt, dass /(O) = 0, /' (0) = a 4= ist 

 und dass SR (/(•/■)) stets kleiner ist als eine positive Grösse .4. 

 Dann ist 



'■ ^ TT* 



= \a\ 



Umgekehrt gibt es, wenn a 4= und Ä>0 ist, eine im Innern 

 des Kreises 



reguläre Funktion // {.'■), welche den Bedingungen 



^(Ü) = 0, .9(0) = «, ^{y{.r))<A 

 genügt. 



Der Beweis wird so geführt: 

 Die lineare Funktion 



^2A — !i 



bildet die Halbebene links von der Geraden 3t {y) = A auf das Innere 

 des Einheitskreises ab. (Hier kommt die Annahme A>0 zur Geltung.) 

 Demnach ist unter den gemachten Voraussetzungen die Funktion 



^(-) = -(/(->) = Tr?7ü) 



für X < /• regulär und absolut genommen < 1. Ihre Entwicklung 

 lautet : 



Daher ist gemäss der bereits einmal angewandten Cauchyschen 

 Ungleichung für < 9 < /• 



Mithin ist 





