226 Paul Bernays. 



^ %A 

 '' < 1 — r • 



= l«l 



Andererseits ist die Funktion 



a ■ X 



'TA 



2 A 

 für |.A"|<-i — r absolut kleiner als 1. Wird daher die Umkehrungs- 



Funktion von z mit z bezeichnet, so liegen die Werte des reellen 

 Teils der Funktion 



2 A (-'^\ 

 . s - ax\ -^y^A ax 



^ ^ 24 ^ ZA 



"> A 

 für 1 d: I < -f-r unterhalb von A. 



Ferner ist g (x) in dem genannten Kreise eine reguläre Funk- 

 tion, deren Entwicklung nach Potenzen von ,r mit dem Gliede ax 

 beginnt, sodass 



g(0) = 0, ^'(0) = a ist. 



Damit sind beide Teile der Behauptung bewiesen. 

 Es sei beiläufig bemerkt, dass aus diesem Satz ohne weiteres 

 folgende untere Abschätzung für ()p («) folgt: 



c)p(«)>2|^(ß) . 



Der bewiesene Satz wird jetzt in folgender Weise angewendet: 

 Es sei a irgend eine Zahl, deren absoluter Betrag zwischen 

 und 1 (exklusive) liegt. 

 Dann ist 



lg|-l>0; 



daher gibt es für | .c | < 2 | « | lg — eine reguläre Funktion 



derenreellerTeil<lg — ist. Folglich gibt es eine für |x"| <2 | «| lg -^ 

 reguläre Funktion 



/i G^-) =/(*•) + lg « = lg « H- {- + ••• - 



dei'en reeller Teil 



5R (/.(..)) = - lg !-^| + $ft(/(.r)) 



negativ ist, sodass die Funktion e'''''*, die innerhalb des Kreises 



ia;i = 2|ft|-lg— regulär ist und die Entwicklung 



