Zur elemeiitaieii Theorie der Liiiiclausclieri KiMiktioii ip («). -I'.il 



die Anwendung des Satzes (II) vermeiden. Man braucht nur die (int 

 Satz (I) enthaltene) Tatsache heranzuzielion. dass il la^, A be- 

 schränkt ist für alle Werte von ag, die einem endlichen, abgeschlos- 

 senen, die Punkte 0, 1 nicht enthaltenden Gebiete angehören.) 



Als eine Folge aus der Endlichkeit des limsup '" , , , ergibt sich: 



a = lallgjll 



lim 9) («) = 



a = i> 



und hieraus zu Folge der Gleichung (a) 

 lim (p (a) - 0. 



a = l 



(p {cc) verhält sich also in den Punkten 0,1 stetig.') 



Durch die bisher angegebenen Eigenschaften ist die Funktion 

 qp (fc) vollständig bestimmt. 



Es gilt nämlich folgender Satz : Eine Funktion 9 («) sei für 

 jedes komplexe a definiert, sie erfülle (für a =j= 0, 1) die Gleichungen 

 (b) und (c) und habe in den Punkten 0, 1 den Wert 0. Dann ist 

 qp (a) = g) («). 



Die Behauptung braucht nur für a 4= 0, 1 bewiesen zu werden. 

 Für die§e Werte von « ist 



cp{ct)> (); 



daher wird durch den Quotienten '"-—- eine Funktion ib (a) definiert. 



<p (n| ^ 



Zu Folge der ßedingungs-GIeichungen für cp («) gilt die Funktional- 

 gleichung =) 



(für jede der beiden Normierungen von ] «) und die Linies-(Tleicliung 

 lim t/» («) = 1 . 



Wenn a von verschieden ist, so gibt es unter den beiden 

 Zahlen -jz ] a (mindestens) eine {={•]'«], für welche 



|l -f £• V'ß| > 1 

 1111(1 



|l-|-£ \ä\ > 1 — £ V«! 



') Die Stetigkeit von 9(0) in den von U und 1 verschiedenen l'uiikten der 

 n-Ehene lässt sich direkt aus dem Satz (I) erschhessen. 



4 V«" 

 -1 Mail heachte, dass, wenn a ^ = 0. I ist, auch -r ;_.„ ='=0, 1 ist. 



O + V«)- 



