Zui- elementarer. Theorie der Laiuiausclieil Funklioii (p {«)■ 233 



Diese lässt. sich auch aus den Formeln (b), (c') beweisen. Wäre 

 niinilicli für ein von und 1 verscliiedenes a 



<P («) = 0, 



so würde gemäss der Gleichung (h) folgen, dass (p für alle Zahlen 

 der Folge 



« , «1 , «2 , . . . 



den AVert hat; dies wäre aber nicht verträglich mit der Limes- 

 Gleichung (c'l). 



Nach demselben Verfahren lässt sich nun auch beweisen, dass 

 die Funktion qp (a), wenn man sie nur für reelles, zwischen und 1 

 (exklusive) gelegenes « definiert, eindeutig bestimmt ist durch die 

 Bedingungen 



lim ^^^^ = 2. (c.) 



Dies kann man daraus ersehen, dass zu jeder positiven Zahl « 

 zwischen und 1 wieder eine positive Zahl «i = -. j=^ gehört, 



U + v«r 



die zwischen und 1 liegt und für welche 



'-'■.-(t^)'< <'-«)' 



ist. 



Auf Grund der eindeutigen Bestimmtheit von (p (a) (als Funktion 

 der reellen Variablen « im Intervall < « < l) durch die Funktional- 

 gleichung (b) und die Limes-Gleichung (c') lässt sich für diese Funk- 

 tion folgende explizite Darstellung ableiten : 



•^W = -7rf^w77r=T (furo <«<!). (3) 



f (.1. Va;-/^U. VI — «; 



Dabei bedeutet .u (a, h) (für a > b > 0) das arithmetisch-geome- 

 trische Mittel von a und b. Dieses arithmetisch-geometrische Mittel 

 ist folgendermassen deliniert: man setze 



« = «(,, b = bo 

 und für i' = 0, 1, 2 . . . 



') Mit } et ist hier die püsitive Wurzel (remeiiit. AUiieiiiein sind in dem fol- 

 genden Teil dieses Paragraphen alle vorkommenden Quadratwurzeln mit positivem 

 Radikanden positiv zu nelimen. 



