234 Paul Beniays. 



fflv + by ,1 — j- , 



dann ist ft {a, h) gleich dem gemeinsamen Werte von 

 lim ((,. und lim h,. . 

 Offenbar ist hiernach 



a> [i{a,b)>b, ] 



und durch diese beiden Eigenschaften ist, wie man leicht zeigen kann, 

 die Funktion fi {a, b) eindeutig bestimmt. 



Gauss hat für das arithmetisch-geometrische Mittel folgenden 

 Ausdruck abgeleitet: ') 



J ya- cos2 qp + &2 sin^ gp J ]/{l - t') («^ _ («2 _ J^) f^ 



(4") 



' ^ 



Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich daraus, dass 



1 



dt 



i(l-t''){a--ia'-b^}t') -^ 



ist und dass durch die Substitution 



2«r 



^"~ (« + &) 



das Integral 



übergeht in 1 



^^,,,_,.,((i^ti)■_((^)•_„»),.) 



sodass die Formeln (4") erfüllt sind. 



Zu Folge der Gleichung (5") ist für < « < 1 



71 _ p dj. 



2 ■ ;i (1 , y« ) ~ J 1/(1 - f^} (1 - (1 - a)~P) 



n _ p dt 



{&') 



') Vgl. in der Einleitung die Anmerkung .ö auf S. 4. 



