238 Paul Bernays. 



Von den beiden"Integralen auf der rechten Seite dieser Gleicliung 

 ist das erste gleich dem absolut genommenen Real-Teil von K, das 

 zweite gleich \K'\ und, da für a>l das Integral K' reell ist, auch 

 gleich i9i(Ä')i. 



Mithin ergibt sich (für « > 1) 



g, („) = 1 . I « . (1 - «) . 5R (K) ■ 5R {K') I . (2) 



Diese Formel behält offenbar für < « < 1 ihre Gültigkeit, da 

 für diese Werte von « 



ist. Sie gilt aber auch für a < ; denn wird bei negativem « 



K = 1 — (3 

 gesetzt, so ist 



ß>l; 



daher gilt die Formel (2), wenn ß an Stelle von a tritt. Andrerseits 

 bleibt die linke wie die rechte Seite von (2) ungeändert, wenn man 

 ß durch 1 — ß, das heisst durch « ersetzt. 



Demnach besteht die Gleichung (2) für alle reellen «(=(=0, 1). 



Da für jedes reelle a mindestens eines der Integrale Ä, K' reell 

 ist, also 



yi{K)-m {K') 1 = I iR (Ä) • m (,Ä') + ^ (K) ■ Q {K') I 



ist, so lässt sich die Gleichung (2) auf die Form bringen: 



<p(«) = 4|ür=|.|3i-(4^)!.|«|.|i-«l- 



Dies ist eine der Formeln, welche Herr Hartogs für alle 

 komplexen «(4=0,1) aus der von Herrn Caratheodory gefun- 

 denen Darstellung von <p (et) abgeleitet hat. 



