Anzahl der Liisuiigen einer ([uadralischen Kongruenz etc. Ü41 



Ein System a von nicht sämtlich verschwindenden ganzen Zahlen 

 des Körpers nennt man nach Dedekind ein Ideal des Körpers, wenn 

 mit zwei Zaiilen «, , a, dos Systems aucii «, — Ko zum System gehört 

 und wenn mit einer Zaiil « auch a ■ a für jede ganze Zahl a des 

 Körpers zum System gehört. 



Ist « eine ganze Zahl des Körpers, so nennt man das Ideal, das 

 entsteht, wenn man i. alle ganzen Zahlen des Körpers in ^ • « durch- 

 laufen lässt, das Hauptideal « und bezeichnet es mit [«]. 



Das Hauptideal |l| besteht aus sämtlichen ganzen Zahlen des 

 Körpers. 



In einem Ideale a sind immer ganze rationale Zahlen enthalten, 

 ist a die kleinste unter ihnen, so sind die übrigen Multipla von a. 



Unter dem Produkte a ■ 6 der Ideale a und 6 versteht man das 

 Ideal, das entsteht, wenn man je eine Zahl von a mit je einer Zahl 

 von b multipliziert und alle Summen von endlich vielen solchen Pro- 

 dukten bildet. 



Sämtliche Zahlen des Ideales a ■ b sind in a einerseits, anderseits 

 in b enthalten. 



Das Produkt [a] ■ b ist gleich dem Ideale, das entsteht, wenn 

 man alle Zahlen von b mit « multipliziert, d. h. gleich a • b. 



Bei der Multiplikation dürfen also das Hauptideal a und die Zahl 

 ß einander ersetzen. 



Das Ideal c heisst durch das Ideal a teilbar, wenn ein Ideal b 

 existiert, so dass c = a • b wird. 



Das Ideal c ist dann und nur dann durch das Ideal tt teilbar, 

 wenn sämtliciie Zahlen von c in a stecken. 



Das Hauptideal y ist durch a dann und nur dann teilbar, wenn 

 die Zahl y in a steckt, in welchem Falle wir auch sagen wollen, 

 dass die Zahl y durch a teilbar ist. Somit dürfen auch bei der 

 Division [«] und die Zahl u einander ersetzen. 



Sind a und b zwei beliebige Ideale, so ist das Ideal i), das ent- 

 steht, wenn man jede Zahl von a zu jeder Zahl von b adiliert, der 

 grösste gemeinsame Teiler von a und b. 



Ist b = [1] für a und 6, so nennt man a und b relativ prim. 



Das Ideal m, das aus den, zwei Idealen a und b gemeinsamen, 

 Zahlen gebildet wird, ist das kleinste gemeinsame Vielfache von a 

 und b. 



Sind a und b relativ prim, so ist nt ^ a • b. 



Wir bezeichnen ein Ideal p als Primideal, wenn es ungleich [1] 

 ist und ausser [1] und sich selbst keine weiteren Teiler besitzt. 



Die kleinste, in einem Primideal p enthaltene rationale Zahl ist 

 eine Primzahl p. 



