242 Jakob Klotz. 



Ist das Primideal p relativ prini zu 2, so ist offenbar 7^ 4= -• 

 Es gilt der Fundamentalsatz: 



Jedes Ideal a, das nicht [1] ist, lässt sieh stets und nur auf eine 

 Weise in ein Produkt aus lauter Primidealen zerlegen, so dass: 



« = Pi' • K ■ ■ • v7 



gesetzt werden kann. 



Ist ein Produkt a ■ b durch ein Primideal p teilbar, so muss 

 mindestens einer der Faktoren durch p teilbar sein. 



Ist a relativ prim zu c und ist a • b durch c teilbar, so muss das 

 Ideal b durch das Ideal c teilbar sein. 



Ist ß eine ganze Zahl des Körpers, die durch das Ideal ft teil- 

 bar ist, so sagen wir, dass u kongruent modulo a ist, in Zeichen: 



« = (mod a). 



Zwei Zahlen « und |J heissen mod a kongruent, wenn a — ß 

 durch a teilbar ist, d. h. : 



0: = ^ (mod d), wenn a — ß = (mod a). 



Sämtliche ganze Zahlen aus Ä' {&) lassen sich so in Klassen 

 modulo a verteilen, dass zwei beliebige Zahlen aus K {&) kongruent 

 oder inkongruent mod a sind, je nachdem sie zu derselben Klasse 

 oder zu verschiedenen Klassen mod ü gehören. 



Die Anzahl der Klassen, in welche sämtliche ganze Zahlen des 

 Körpers bezüglich eines Moduls a zerfallen, nennt man die Norm des 

 Ideales a und bezeichnet sie mit N (a). 



Diese Anzahl ist immer eine endliche. 

 ' Ist p ein Primideal, so ist iV(p) =j>', wo ^ die in p enthaltene 

 rationale Primzahl ist. f wird der Grad des Primideales p genannt. 



Ist «i = /3, (a); «2 = ß2 {a),...a,= ß^(a). so ist auch/(K,, a^, ...«,.) 

 = /(ßi7 ^2' • ■ • ßr) (mod a), wo / eine beliebige ganze rationale Funk- 

 tion mit Koeffizienten, die ganze Zahlen in K (&) sind, bedeutet. 



Aus « = ß (mod a) folgt « = |3 (mod b), wenn b ein Teiler von 

 a ist. 



Aus « = (3 (üi), a = ß (tta), . . . « = ß (a,) folgt a = ß (m), wo in 

 das kleinste gemeinsame Vielfache von a,, ttj, . . . a,. bedeutet. 



Die lineare Kongruenz « | = /3 (mod j) ist, wenn a relativ prim 

 zu _;' ist, immer lösbar und besitzt eine Lösung. 



Ist a nicht prim zu j, so besitzt die Kongruenz a | ^ (3 (mod j) 

 dann und nur dann Lösungen, wenn der grösste gemeinsame Teiler 

 b von « und j auch in ß steckt, und die Anzahl der Lösungen ist 

 in diesem Falle N (b). 



