der Kongruenz (1) verstehen wir n ganze Zahlen A', , Xj, . . . A'',, des 

 Körpers, für welche f {X^, . . . X„) — ca eine Zahl in j ist, d. h. 



/(A'i, A'„, ... A-„) = (D(modi) 

 wird. 



Nach dem Vorgange von Minkowski ") im Gebiete der rationalen 

 Zahlen bezeichnen wir mit /{«,_;} die Anzahl der Lösungen der 

 Kongruenz (1). 



Für den Körper der rationalen Zahlen führen diese Anzahlen, 

 wie es Minkowski gezeigt hat, auf Ausdrücke, die eine wichtige 

 Rolle in der Theorie der quadratischen Formen von n Variabein 

 spielen. Die Einteilung der quadratischen Formen in Geschlechter 

 geschieht nämlich dort auf Grund von gewissen, der Form eigenen, 

 quadratischen Charakteren und diese letzten gerade treten in den 

 Ausdrücken für die Anzahl der Lösungen von quadratischen Kon- 

 gruenzen auf, sind somit aus diesen Anzahlen berechenbar. 



Eine ähnliche Rolle würden also die Ausdrücke für f [a, j] bei 

 der Begründung der Theorie der quadratischen Formen von n Varia- 

 bein in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper spielen und aus 

 diesem Grunde beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit der Er- 

 mittlung der Anzahlen der Lösungen der Kongruenz (1). 



Wir verallgemeinern auf einen beliebigen algebraischen Zahlkörper 

 die Ausführungen von Minkowski soweit es sich um die Reduktion 

 unseres Problems handelt, dagegen ist seine Methode, mit Hülfe der 

 Gauss'schen Summen die Anzahlen der Lösungen selbst zu berechnen, 

 auf einen beliebigen algebraischen Zahlkörper nicht übertragbar. 



Zur Kongruenz (1) zurückkehrend, bemerken wir, dass a als 

 eine zu _;' prime ganze Zahl des Körpers und / als eine zu j primitive 

 quadratische Form, d. h. der grösste gemeinsame Idealteiler der 

 Koeffizienten a.^ zu j prim, vorausgesetzt werden dürfen, da die 

 übrigen Fälle leicht auf diesen zurückgeführt werden können. 



Es sei also von nun an co prim und / primitiv zu j. 



Ist dann 



(2) J=p^p^p^.•p:' 



die Zerlegung von j in Primfaktoren, so ist offenbar a prim und / 

 primitiv zu den sämtlichen in j aufgehenden Primidealen : p^p,^, ...p,. 

 Wir behaupten nun, dass 



') H. Minkowski, Memoire sur la theorie des formes quadratiques a coefficients 

 entiers. (Memoires presentes par divers savants ä FAcademie des sciences de l'ins- 

 titut de France, t, XXIX, Paris 1884.) 



