Anzahl der Lösungen einer quiidratischen Kongruenz etc. 245 



ist, WO f <a, ^i'^ I die Anzahl der Lösungen der Kongruenz 



(4) J\->\i -<8. • • • ^,) - w (mod \)^ ], /c = 1, 2, . . . x 



bedeutet. 



In der Tat ist jede Lösung ^i ^ A'; (mody\ / = 1, 2, . . . « der 

 Kongruenz (1) zugleich eine Lösung jeder der s Kongruenzen (4) und 

 umgekehrt erhält man aus je einer Lösung der s Kongruenzen (4) 

 nämlich aus 



Xi = Xf (mod p';), /v- = 1, 2, . . . s 



ein System von s linearen Kongruenzen, dessen Auflösung uns eine 

 und nur eine Lösung .'-,!- A'.lmod^') der Kongruenz (1) liefert. Da 

 aber die Anzahl solcher Systeme von je einer Lösung der Kongruenzen 



(4) gleich dem Produkte der Anzahlen der Lösungen der .'; einzelnen 

 Kongruenzen (4) ist, so ist unsere Behauptung (3) bewiesen. 



Wir werden somit auf die Bestimmung von /{cj, p'}, d. h. der 

 Anzahl der Lösungen der Kongruenz 



(5) /(x-,, j\, . . . j;,) = w (mod p') 



geführt, wo p ein Primideal, ö eine zu p prinic Zahl des Körpers und 

 / eine zu p primitive quadratische Form ist. 



Wir setzen voraus, dass p ein in 2 nicht aufgehendes Primideal 

 ist, da der Fall, wo p in 2 aufgeht, umfangreiche Untersuchungen 

 erfordert und deshalb sein j vollständige Behandlung uns hier zu weit 

 führen würde. 



Wir suchen zunächst die Bestimmung der Anzahl f [a, p'} auf die 



Bestimmung der Anzahl,/), {w, p'} zurückzuführen, wo die quadratische 



Form ,/„ die Variabein nur noch in Quadraten enthält. Zu diesem 



Zwecke müssen wir etwas tiefer in das Wesen einer quadratischen 



Form bezüglich eines Moduls p' eindringen. 

 1 . . . n 

 Ist / (x,, . . . x„) = ^ «j.^ X. x^, «;„ ^ a„; eine quadratische Foi m 



in A'(&), so nennen wir die Determinante 



F=\a.^\ 



die Determinante der quadratischen Form/. Mit den Koeffizienten a.^ 

 ist auch die Determinante F eine ganze Zahl des Körpers. 

 Üben wir an der Form ,/' die Substitution 



X. = ö'j'o.-'j H- a'-^x'^ -\ h ö'','.i''„ ; j = 1, 2, . . . h 



aus und ist dabei die Substitutionsdeterminante gleich einer Einheit 

 des Körpers: 



