Jakob Klotz. 



d. h. ist dio Substitution eine unimodulare (die ßj' sind hier als ganze 

 Zahlen in K {%) gedacht), so nennt man die neue quadratische Form 

 /' (x'i, x'.2, . ■ . x'„) der Form f{x^,... x„) äquivalent, in Zeichen 



/ ~/. 



Da die Zahl 1 eine Einheit in K {&) ist, so ist jede Form sich 

 selbst äquivalent; da ferner mit e auch — eine Einheit des Körpers 

 darstellt, so ist die Beziehung der Äquivalenz eine gegenseitige, und 

 weil schliesslich mit a, und £, auch £; • a., eine Einheit des Körpers 

 ist, so sind zwei Formen, die äquivalent einer dritten sind, äquivalent 

 untereinander. 



Wir dürfen somit alle untereinander äquivalente quadratische 

 Formen in ein System, Klasse genannt, vereinigen und erreichen 

 damit, dass zwei quadratische Formen dann und nur dann äquivalent 

 sind, wenn sie zu derselben Klasse gehören. 



Jede beliebig aus der Klasse herausgegriffene Form / nennen wir 

 einen Repräsentanten der Klasse und bezeichnen dementsprechend die 

 ganze Klasse mit [/]. 



Ist / eine zum Primideale p primitive Form, so sind es offenbar 

 auch alle Formen der Klasse [/]. 



Es sei nun /= ^ «i^x.x^, eine zum Primideale p primitive qua- 

 dratische Form und F^=\a.\ ihre Determinante, die ungleich sei. 

 Wir betrachten alle Unterdeterminauten /.' ten Grades F^ von F, und 

 bezeichnen ihren grössten gemeinsamen Idealteiler mit ti,,„i- bg ^^^ 

 somit, als grösster gemeinsamer Teiler der Koeffizienten u.^, zu p 

 prim und 'i>„_■^ ist gleich dem Hauptideale (F). 



Auf diese Weise haben wir der Form / )i Ideale 



zugeordnet. Diese besitzen die wichtige Eigenschaft, sich invariant 

 bezüglich der ganzen Formenklasse [y] zu verhalten. 

 Denn ist 



1...« 1 ..« 



/■ = "V a. x.x oo f — '^ a': X. x \ i, K ^= l . . . II , 



so lassen sich die Koeffizienten «.^ linear und homogen in den Koeffi- 

 zienten «^'^ und auch umgekehrt die «',, linear und homogen in den 

 «. ausdrücken, woraus sich die Beziehung 



