Anzahl der Lösuiifc'on einer (|uadratischen Kongruenz etc. 247 



(6) \ {/) - b„ (/'); « - 0, 1, 2, ...» - 1 



ergibt. 



Da ferner eine Untordetcrminante /.ten Grades F^ eine lineare 

 und homogene Funktion der ünterdeterminanten {ic — l)ten Grades 

 F^_^ ist, so muss b^ , in b^ aufgehen, somit 



^7) -^^'"---c^; /—l/J,.../^-! 



sein, wo c^ ein Ideal des Körpers bedeutet. 



Es lässt sich mit Hülfe von einfachen Determinantensiitzen zeigen, 

 dass auch c^ , in c^ aufgehen, somit 



-^ = m^; /.- = 2, 3, . . . « — 1 



sein muss, wo m^ wiederum ein Ideal des Körpers bedeutet. 



Mit den Idealen b^ sind auch die Ideale e,, und n\ Invarianten 

 der Formenklasse [/]. Setzen wir 



fest, so lassen sich die Invarianten lü aus den Invarianten b nach 

 folgenden Formeln : 



(8) ro, = V- ; ro,. = -—- : -r^^-^ = -^ =- ; « = 2, . . . « — 1 



berechnen. 



Es sei ferner p' '■ die höchste Potenz vom Frimideale p, welche 

 in b^ enthalten ist. Da f primitiv zu p ist, so muss 



sein und da ferner nach (7) b^._ , in b^ aufgehen muss, so besteht 

 die Relation 



(9) f^K^«^K-i «= 1,-- ••« — 1- 



Bezeichnen wir mit p"^'' die höchste Potenz von p, die in der 

 Invariante m^ aufgeht, so lassen sich mit Benutzung von (8) die so 

 definierten Exponenten u\, aus den Exponenten d^, berechnen. Es ist 

 nämlich : 



(10) n-^=((l^—d^_^) — {d^_^ — d^_2); /.• = 2,3,...// — 1; it, = (/, . 



Ist die Determinante F der zu p primitiven Form y' relativ prim 

 zu p, so ist der Exponent f/„_i = 0, somit wegen (9) sämtliche 

 Exponenten d^^ i> und wegen (10) sämtliche iu^=0. 



