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Jakob Klotz. 



Wir bezeichnen schliesslich zwei quadratische Formen 



als kongruent bezüglich des Ideals j, als Modul, in Zeichen 



f=g (modj), 



wenn die ^«(»H-l) Kongruenzen 



a^^ = ß.^ (modj') ; i, k = 1, 2, . . . w 



bestehen. Man sagt auch, dass in diesem Falle die eine Form Rest 

 der anderen bezüglich des Moduls j ist. 



Wir wollen auch eine quadratische Form g (xi, . . . j:„) einen Rest 

 modulo j der Formenklasse [/] nennen, wenn in dieser Klasse ein 

 zu g mod j kongruenter Represäntant existiert. 



Dies alles vorausgeschickt beweisen wir den 



Hülfssatz. Ist/ eine zum Primideale p, das in 2 nicht aufgeht, 

 primitive Form, so besitzt die Formenklasse [/] in bezug auf jede 

 Potenz von p als Modul einen Rest: 



ö"V' 



e.) 



wo « eine bestimmte durch p nicht teilbare Zahl des Körpers, ö eine 

 beliebige durch p und nicht durch p° teilbare Zahl desselben und 

 f eine zu p primitive quadratische Form von ii — 1 Variabein be- 

 deutet. 



Beweis. Bezeichnen wir der grösseren Übersicht wegen eine 

 quadratische Form durch die Matrix ihrer Koeffizienten, so behauptet 

 unser Hülfssatz, dass im Falle, wo / primitiv zu p ist : 



(11) 



/•~/o = 



a 



d"'ß?; ö" 







I,« — 1 



Ö"' 



« - 1, 1 



. Ö"'' 



(mod p') 



sem muss. 



Da / primitiv zu p ist, so dürfen nicht sämtliche Koeffizienten 

 «. ., a.^ der Form /, also auch nicht sämtliche a.., 2 a.^ durch p teil- 

 bar sein, wohl aber können alle quadratischen Koeffizienten a.. durch 

 p teilbar sein. Man zeigt leicht, dass man in diesem Falle die Form/ 

 in eine äquivalente /' überführen kann, in welcher notwendig minde- 

 stens ein quadratischer Koeffizient zu p prim ist. 



