Anzahl der Lösungen einer quadralisclien Konjjrucn/. elr. '251 



allen «, p.^; /, /.•=!,...(/ — 1 stecken und, da c, zu p prim ist, aucli 

 in allen g.^ enthalten sein, p"^' muss aber zugleich die höchste Potenz 

 von p sein, die in allen Koeffizienten q.^ enthüllten ist, da sonst ofifen- 

 bar p"^' nicht die höchste Potenz wäre, die in allen Unterdeterminanten 

 •_' ten Grades der Determinante von/'" enthalten ist. 



Ist somit t genügend gross gedacht, nämlich t > w^ und ist ferner 

 «y eine beliebige, durch p, aber nicht durch p- teilbare Zahl des Körpers 

 (eine solche Zahl existiert immer, da das Ideal p umfangreicher als 

 »las Ideal p- ist), so sind die linearen Kongruenzen 



«"■'x.^ ~ Q.^ (mod pO i, /t = 1, . . . » — 1 



sicher lösbar und bedeuten 



x.^ — afl (mod p') i, k = 1, ...>/ — 1 



ihre Lfisungen, so dürfen nicht sämtliche a.^ durch p teilbar sein. Be- 

 zeichnen wir/'" mit /o, so ist 



1 ... H - 1 



/ cvo/o = «j xl + ö" ^ «™. xf,; .xf (mod pO, 

 wo die Form 



eine zu p primitive Form ist und wo k, zu p prim ist. Somit ist der 

 Hülfssatz bewiesen. Da er für t > n\ richtig ist, so ist er auch für 

 jedes / richtig. 



AVir müssen noch eine Beziehung, die zwischen /und/' ' besteht. 

 erörtern. 



Es seien nämlich die den Invarianten von / entsprechenden In- 

 varianten von /' ' : 



b"'. b*,", ... 



und die höchsten Potenzen von p, die in ilmeii aufgehen, 



p''',p'' ,...p"-- p'^',p"%...p'''-^; 

 dann besteht die Beziehung 

 (12) m;^= ef<J>_j «^2, ...«-1. 



Um dies einzusehen, bezeichnen wir mit i^"' die Determinante 

 von 7'"' und mit i^'" ihre Unterdeterminanten Kten Grades. 



Es besitzt dann eine Unterdeterminante (Fq)^ der Form y|,, wie 

 der blosse Anblick von (11 j lehrt, eine der drei Gestalten: 



Vlcrteljohmschrlft <1. Niturf. Ges. Zürich. Jahrg. 58. 1913. 17 



