252 Jakob Klotz. 



Somit muss p ""', wegen /o^Vi die kleinere unter den beiden 

 Potenzen : 



sein. 



Nun ist d^_^>d^'_^ und iVj^>0, also ist 



Aus dieser Gleichung ergibt sich mit Benutzung von (10) 



IV, = d,-2d,^, + r/„_o = K IV ^ + fZ'^ij — 2 {(k — 1) iv^ + d"i„} + 



+ {(/.: - 2) 10, + dZ,} = dZ, - 2 <'»_, + d»i-3 = w'il, , 



somit die Behauptung (12) bewiesen. 



Wir sind nun in der Lage den Satz zu beweisen, der für die 

 Reduktion unseres Problems grundlegend ist. 



1 . . . « 

 Satz. Ist/ = ^ a.^ X. x^ eine zu p primitive quadratische Form, 



so ist 



(13) / x>fjj ^ Kj x\ + d'"' «2 Xo, + ö""' "^ "'' «3 a-'g H 



+ r'+ "■"-'«„ .r;(modp'). 



wo die a,. prim zu p sind, d eine durch p aber nicht durch p- teil- 

 bare Zahl des Körpers und p' eine beliebige Potenz von p bedeutet. 



Beweis. Wir setzen voraus, dass der Satz für eine quadratische 

 Form von n — 1 Variabein bereits bewiesen ist und zeigen, dass er 

 dann auch für eine quadratische Form von ii Variabein richtig ist. 



1 . . . K 



Da f= ^ ("/„'i'i x^ eine zu p primitive Form ist. so ist nach 

 dem Hülfssatze für jede Potenz von p 



./• -y; - «, ,rj + ö"'/"> (o;;" , . . . x^,) (mod p') 



wo die Form / * zu p primitiv ist und zwischen / und / ' die Be- 

 ziehung (12) 



besteht. 



Da / * nur // — 1 Variabein besitzt, so ist nach Voraussetzung 



I ^^/7/= «2*2 ^'" ° "3 ■'^■3 + ° «4«4H 'a^^ ;r ^ (mod p'). 



