Anzahl der Lösungen einer quadratischen Konj.'ruenz etc. 'i53 



Durch dieselbe Substitution, weiche /*" in /||* überführt, wird 

 offenbar /„ in 



r 2 , «iri 2 , vffi + iV'i 2 , , t»ri + -f «■„ — i - / j . /\ 



/„=«j.r,-f ö 'a^j-j+ö «i-'^sH Ho ' «, a,, (niodpM 



übergeführt. Es ist somit /„ -^ ./y/ und 



./■ -./;,• 



Da unser Satz für // -^ 1 richtig ist, so ist er auch für jedes » 

 richtig. — 



Der Rest der Form _/„ wird der Hauptrest der Formenklasse [/| 

 mod ;i' genannt. Er ist dadurch charakterisiert, dass er die Variabein 

 nur noch in Quadraten enthält. 



Jede zu p primitive Formenklasse besitzt somit einen Hauptrest 

 bezüglich jeder Potenz von p. 



Wir kehren nun zu unserem eigentlichen Probleme zurück, das 

 in der Bestimmung der Anzahl der Lösungen der Kongruenz (5) 



/ (.'--i, .'■,, '■„) = w (mod p' ) 



bestand, wobei u prim zu p und / eine zu p prime quadratische 

 Form war. 



Wir haben diese Anzahl mit/{c}, p'} bezeichnet. Nun ist leicht 

 zu zeigen, dass die Zahl f {w, p'} eine Invariante der Formenklasse [/ 1 



1...« 1...H 



ist. In der Tat seien ./■= ^ a^.^j-^.x^ und /' = _^ «^^^X; .i'^ zwei äqui- 

 valente Formen, dann entspricht jeder Lösung von f {3-^, . . .a„) = a 

 (mod p'\ vermöge den Substitutionsgleichungen, die/in/' überführen, 

 eine und nur eine Lösung der Kongruenz /' (.j ',,... a;|,) ee co (mod p') 

 und offenbar auch umgekelirt. Somit ist 



(14) / {», p'} = /' {w, p'} , wenn / ~ /' ist. 

 Nach unserem Satze ist also auch 



(15) f{a, p'} =y„ {03, p'}, für jedes / 



und da die Anzahl der Lösungen sich nicht ändert, wenn man die Form 

 f„ durch ihren Rest mod p' ersetzt, so ist die gesuchte Anzahl y'{ca, p'} 

 gleich der Anzahl der Lösungen der Kongruenz: 



ßj./j— ö ' u.,x.,-\- «gajgH ho a„ic,, = o (mod p'). 



Setzen wir 



(Kit «,= «;; d'""'"^" -"'""-'«^t:«;, (modpO; /.• = 2,...H, 



