254 Jakob Klotz. 



SO ist / {a, p'} auch gleich der Anzahl der Lösungen der Konvergenz 



(17) ^ a. .t;" = cö (^mod p'). 



/ = 1 ' ' 



wo nicht sämtliche Koeffizienten a'. durch p teilbar sind. 



Wir haben somit die Kongruenz (5) auf die speziellere (17), die 

 die Unbekannten nur noch in Quadraten enthält, zurückgeführt, was 

 eine wesentliche Vereinfachung unseres Problems bedeutet. 



Wir führen nun den Fall einer Primidealpotenz als Modul auf 

 den Fall eines Primideals als Modul zurück. Zu diesem Zwecke 

 dienen folgende Überlegungen : 



Der Ausdruck 



wo d durch p, aber nicht durch p^ teilbar ist, liefert uns ein voll- 

 ständiges Restsystem mod p , wenn man x ein vollständiges Rest- 

 system mod p ~ und y ein solches mod p durchlaufen lässt. Denn 

 erstens ist die Anzahl der so erhaltenen Zahlen gleich 



{Nip)Y-'-N{v) = {N{v)y 

 und zweitens folgt aus der Kongruenz mod p zweier von ihnen, d. h. 



x' + d'~^t/' = x'-h d''^ y" (mod p'), oder 

 {x- X-) + d'-'{i/'-y") = (mod p') , 

 dass: x'^x" (mod p " ), also nach Voraussetzung: 



!/'= y" (mod p), 



u' = u" 



und daraus: 



also nach Voraussetzung 



sein muss. 



Nun ist jede Lösung jj^ = X,. (mod p'] von (17) zugleich eine 

 Lösung der Kongruenz 



(18) 2 d. x:^a (mod p'~'). 



Ist umgekehrt .<;.s X. (mod p''"') eine Lösung der Kongruenz (18), 

 so erhält man, nach dem oben Ausgeführten, alle aus dieser Lösung 

 entspringenden Lösungen der Kongruenz (17), indem man 



.'V = A'.+ 5'"\/y.; i = l,2, ...« 



setzt und den y^ diejenigen Werte mod p erteilt, für welche 



