Anzalil iler Lösuntten einer ([uadratisclien Konijruenz etc. 255 



^ cc'.{X.-^ d'~ '!/)-- w (modp') 



oder : 



y a. A'f-f 2 d'- ' ^ a. X. ■ II, + Ö"'-" ^ «'. xf. = a (mod p') 

 i = 1 1 = 1 1 = 1 ^ ' 



wird. 



Es ist _^ «'. A'^ :^ ca(mod p'~M, wir dürfen somit nach Obigem 

 _^ a^. A'i' i^ o -f d' ~ ' A (mod p ) setzen und erhalten für die Bestim- 

 mung von //, die Kongruenz 



n n 



d'~ ' A+ 2 ö'" ' ^ tt. X. ■ 1/. 4- 8-'~"^ a. y" = (mod p') . 



/ = 1 ' ' ! = 1 ' ^ 



Setzt man < > 2 voraus, also 2 < — 2 > (, so erhält man für die 

 Bestimmung von ;/,. die lineare Kongruenz 

 tt 



(19) A + 2^«'. A.-y.-Ü (modp). 



; = i 



Nun dürfen nicht sämtliche Koeffizienten u- X. durch p teilbar 



sein, da sonst ^ 



^a Xf = (mod p), 

 1 = 1 



also auch o z_ (mod p) gegen die Voraussetzung, wäre. Somit ist 

 in iirti mindestens ein Koeffizient «) A^. zu p prim, woraus folgt, dass 

 diese Kongruenz {A"(p)}""' Lösungen besitzt, da man ii — 1 der 

 Grössen y, beliebige Wertesysteme mod p erteilen darf und jedesmal 

 einen und nur einen zugehörigen Wert der «ten bestimmen kann. 

 Somit ist die Anzahl der Lösungen der Kongruenz (17) {A'^(p){"~' 

 mal grösser als diejenige der Kongruenz (18), d. h. 



/{«,p'} = [.¥(p)]"-'./{«,p' •} 



und daraus, wie leicht folgt, 



(20) /{",p'} = [A'(p)f-''"-V{«,P}. 

 wo /'(w. p} die Anzahl der Lösungen der Kongruenz 



y, a. x'. (o (mod p) 

 bedeutet. 



Nach (16) kann die letzte Kongruenz auch 



(21) «, x; + ö'" a., .rt + ö'" + "' «3 4 - • • • ^ 8'" + + "•" - K„ J a (mod p) 

 geschrieben werden, wo sämtliche «, zu p prim sind. 



