256 Jakob Klotz. 



Es sei nun unter den Invarianten n^^ der Form / 



m;, = »'„ = ••• = *('',„_i = 0, IV 1^^ > 0, wo III < « 



sein muss. iv,„ sei also der erste nicht verschwindende Exponent. 

 Die Kongruenz (21) reduziert sich also auf die Kongruenz 



(22) ßj xl + «., ivl H- • • • H- a,„ .-f^„ = « (inod p) , 



wo sämtliche Koeffizienten a, zu p prini sind. Die Anzahl der Lösungen 

 dieser Kongruenz sei mit A bezeichnet, diejenige der Kongruenz (21) 

 ist /{«, p). 



Da jede Lösung von (21) zugleich eine Lösung von (22) und 

 umgekehrt aus jeder Lösung von (22) im ganzen [iV^(p)] "~"' Lösungen 

 von (21) entspringen, indem man .?'„, ^^ bis .r^^ beliebige Werte mod p 

 beilegt, so ist offenbar 



(23) f{co,p} = [N{p)\"-"'-A. 



Im Falle, wo die Determinante i^ der Form/zu p prim ist, und 

 nur in diesem Falle sind sämtliche tv^ = 0, also m = m. 

 Es erübrisrt also nur noch A zu bestimmen. 



Dritter Teil. 



Anzahl der Lösungen der Kongruenz a^,i^^^ci,,Tt-\ a^^^.r^^^ = ö(modp). 



Wir betrachten in diesem Abschnitte die Kongruenz: 



(1) «j a'j + «2 o-'g H 1- ß,„ ./;,^ = a (mod p) , 



wo p ein in der Zahl 2 nicht aufgehendes Primideal des Körpers, co 

 eine beliebige ganze Zahl und die Koeffizienten «, durch p nicht teil- 

 bare ganze Zahlen des Körpers bedeuten. 



Wir fragen nach der Anzahl der Lösungen dieser Kongruenz, 

 d. h. nach allen möglichen, mod p inkongruenten, Systemen von je 

 m ganzen Zahlen .l\, x.^, . . . x„^ des Körpers, für welche unsere Kon- 

 gruenz (1) befriedigt wird. 



Es seien unter den Koeffizienten «, r quadratische Reste von p 

 vorhanden. Nehmen wir an, dass es die ersten /• Koeffizienten sind, 

 so dürfen wir 



a. = q". (mod p), i — 1, 2, • • • r 

 setzen. 



Die übrigen in — r Koeffizienten sind sodann quadratische Nicht- 



reste von p und wir dürfen, wenn y einen beliebigen quadratischen 



Nichtrest von p bedeutet, 



